From e5a785b50bd9faf620f34b63abe7aac0e067f78f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Luca Lombardo Date: Thu, 22 Feb 2024 12:36:44 +0100 Subject: [PATCH] elenco argomenti G2 --- geoemtria-2/algebrica.md | 152 ++++++++++++++++++ geoemtria-2/complessa.md | 117 ++++++++++++++ geoemtria-2/proiettiva.md | 122 ++++++++++++++ geoemtria-2/topologia.md | 295 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ meccanica-razionale/README.md | 158 +++++++++++++----- 5 files changed, 802 insertions(+), 42 deletions(-) create mode 100644 geoemtria-2/algebrica.md create mode 100644 geoemtria-2/complessa.md create mode 100644 geoemtria-2/proiettiva.md create mode 100644 geoemtria-2/topologia.md diff --git a/geoemtria-2/algebrica.md b/geoemtria-2/algebrica.md new file mode 100644 index 0000000..21cb528 --- /dev/null +++ b/geoemtria-2/algebrica.md @@ -0,0 +1,152 @@ +# La categoria hTop + +* [ ] [definizione] Omotopia +* [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza +* [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia +* [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica +* [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza +## Funtore delle componenti connesse per archi + +* [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$ +# Gruppo fondamentale + +## Omotopia di cammini + +* [ ] [definizione] Omotopia di cammini +## Gruppo Fondamentale + +* [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale +* [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo +* [ ] [definizione] Semplicemente connesso +## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio + +* [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale +* [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$ +* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$ +## Funtorialità del gruppo fondamentale + +* [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati +* [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$ +* [ ] [definizione] Omotopia puntata +* [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali +## Dipendenze del gruppo fondamentale + +* [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo +* [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo +# Spazi contraibili e retratti + +## Spazi contraibili + +* [ ] [definizione] Spazio contraibile +* [ ] [definizione] Insieme stellato +* [ ] [definizione] Insieme Convesso +* [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato +## Retratti di Deformazione + +* [ ] [definizione] Retratto +* [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti +* [ ] [definizione] Retratto di deformazione +# Rivestimenti + +## Omeomorfismi locali + +* [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale +* [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta +## Rivestimenti + +* [ ] [definizione] Rivestimento +* [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale +* [ ] [definizione] Fibra +* [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre +* [ ] [definizione] Grado di un rivestimento +* [ ] [definizione] Rivestimento banale +* [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua +## Sollevamenti + +* [ ] [definizione] Sollevamento +* [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento +* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini +* [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia +* [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini +# Azione di Monodromia + +* [ ] [definizione] Azione di monodromia +* [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia +### Sollevamento di mappe qualsiasi + +* [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi +## Applicazioni dell'azione di Monodromia + +* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio +* [ ] [**teorema**] Teorema di Brower +# Teorema di Seifert-Van Kampen + +* [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen +# Calcolo del Gruppo fondamentale + +## Gruppo fondamentale del prodotto + +* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto +## Prodotto libero e gruppi liberi + +* [ ] [definizione] Prodotto libero +* [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero +* [ ] [definizione] Gruppo libero +* [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero +## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse + +* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze +## Prodotto amalgamato + +* [ ] [definizione] Prodotto amalgamato +* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato +## Presentazioni di gruppi + +* [ ] [definizione] Presentazione +* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni +* [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato +## Rango + +* [ ] [definizione] Rango +## Gruppi fondamentali di proiettivi + +* [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi +* [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali +## Gruppi fondamentali di superfici + +### Toro + +* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro +### Superfici con dato genere + +* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$ +* [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$ +* [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi +# Rivestimento Universale + +* [ ] [definizione] Rivestimento universale +* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione +* [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso +* [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali +## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti + +* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale +* [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti +* [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti +* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano +### Isomorfismi di rivestimenti + +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi +## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois + +* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua +* [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo +* [ ] [definizione] Rivestimento regolare +* [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari +* [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale +* [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari +## Applicazioni della teoria dei rivestimenti + +* [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam diff --git a/geoemtria-2/complessa.md b/geoemtria-2/complessa.md new file mode 100644 index 0000000..a38d05f --- /dev/null +++ b/geoemtria-2/complessa.md @@ -0,0 +1,117 @@ +# Richiami di calcolo in pi\`u variabili + +* [ ] [definizione] Differenziabilit\`a e differenziale +* [ ] [definizione] Derivate parziali +* [ ] [definizione] Coniugio +* [ ] [**proposizione**] Il differenziale \`e $\C$-lineare +* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a del differenziale +* [ ] [**proposizione**] Le $\R$ lineari sono la somma diretta delle $\C$ lineari e $\C$ antilineari +# Funzioni olomorfe + +* [ ] [definizione] Funzione olomorfa +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe +* [ ] [**teorema**] Propriet\`a aritmetiche delle olomorfe +# Analitiche + +## Serie di potenze + +* [ ] [definizione] Serie di potenze +* [ ] [definizione] Funzione analitica +* [ ] [**proposizione**] Le analitiche sono continue +* [ ] [**teorema**] Serie di potenze sono analitiche +* [ ] [**teorema**] Serie derivata +## Ordine di annullamento + +* [ ] [definizione] Ordine di annullamento +* [ ] [**teorema**] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa +# Esponenziale e logaritmo complessi + +## Esponenziale complesso + +* [ ] [definizione] Esponenziale complesso +* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a dell'esponenziale complesso +## Logaritmo complesso + +* [ ] [**proposizione**] L'esponenziale complesso \`e un rivestimento +* [ ] [**teorema**] Branche del logaritmo +* [ ] [definizione] Branca principale del logaritmo complesso +* [ ] [**proposizione**] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo +* [ ] [**proposizione**] Le branche del logaritmo sono olomorfe +* [ ] [**teorema**] Espansione in serie del logaritmo +# 1-Forme complesse + +* [ ] [definizione] 1-forma continua +* [ ] [definizione] Forme esatte e chiuse +## Integrazione di 1-forme + +* [ ] [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a $\C$ +* [ ] [definizione] Integrale lungo una curva $C^1$ +* [ ] [definizione] Curva $C^1$ a tratti +* [ ] [**proposizione**] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione +* [ ] [**proposizione**] Integrazione di 1-forme esatte +* [ ] [definizione] Dominio +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci +## Primitive lungo curve e lungo omotopie + +* [ ] [definizione] Primitiva lungo una curva +* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo curve +* [ ] [definizione] Primitiva lungo una omotopia +* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo omotopie +* [ ] [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui +* [ ] [**teorema**] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi +## Forme chiuse da funzioni olomorfe + +* [ ] [**teorema**] Gauss-Green +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle forme chiuse $C^1$ con derivate parziali +* [ ] [**teorema**] Cauchy +* [ ] [**teorema**] Continua olomorfa fuori un segmento d\`a forma chiusa +# Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy + +* [ ] [definizione] Indice di avvolgimento +* [ ] [**proposizione**] Indice di avvolgimento \`e intero +* [ ] [**teorema**] Formula integrale di Cauchy +## Olomorfa implica analitica + +* [ ] [**teorema**] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco +### Propriet\`a delle olomorfe ereditate delle analitiche + +* [ ] [**proposizione**] Principio di identit\`a +# Applicazioni + +## Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville + +* [ ] [**proposizione**] Disuguaglianze di Cauchy +## Principio della media + +* [ ] [definizione] Propriet\`a della media +* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a della media implica continua +* [ ] [**teorema**] Principio della media +## Principio del massimo + +* [ ] [**teorema**] Principio del massimo 1 +* [ ] [**teorema**] Teorema dell'applicazione aperta +# Singolarit\`a + +* [ ] [definizione] Singolarit\`a +* [ ] [definizione] Corona +## Serie di Laurent + +* [ ] [definizione] Serie di Laurent +* [ ] [**proposizione**] propriet\`a delle serie di Laurent +* [ ] [**teorema**] Olomorfa su Anello \`e serie di Laurent +## Tipi di singolarit\`a + +* [ ] [definizione] Tipi di singolarit\`a +* [ ] [**teorema**] Estensione di Riemann +* [ ] [**teorema**] Casorati-Weierstass +# Funzioni meromorfe e Residui + +* [ ] [definizione] Funzione meromorfa +* [ ] [definizione] Residuo +* [ ] [**proposizione**] Formula del residuo per rapporto di olomorfe +* [ ] [**teorema**] Teorema dei Residui +## Derivata Logaritmica + +* [ ] [definizione] Derivata logaritmica +* [ ] [**proposizione**] Residuo in polo della derivata logaritmica \`e l'ordine del polo/zero +* [ ] [**teorema**] Teorema di Derivata logaritmica diff --git a/geoemtria-2/proiettiva.md b/geoemtria-2/proiettiva.md new file mode 100644 index 0000000..fd11456 --- /dev/null +++ b/geoemtria-2/proiettiva.md @@ -0,0 +1,122 @@ +# Spazi proiettivi e nozioni introduttive + +## Spazio proiettivo + +* [ ] [definizione] Spazio Proiettivo +* [ ] [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo +* [ ] [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi +* [ ] [definizione] Spazio proiettivo standard +## Trasformazioni Proiettive + +* [ ] [definizione] Trasformazione proiettiva +* [ ] [definizione] Isomorfismo proiettivo +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi +* [ ] [definizione] Proiettivit\`a +## Sottospazi proiettivi + +* [ ] [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO) +* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo +* [ ] [definizione] Iperpiano proiettivo +* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali +* [ ] [**proposizione**] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione +* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo generato +* [ ] [**proposizione**] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali +* [ ] [**proposizione**] Trasformazioni proiettive rispettano i generati +* [ ] [**teorema**] Formula di Grassmann proiettiva +## Riferimenti proiettivi + +* [ ] [definizione] Punti indipendenti +* [ ] [definizione] Posizione generale +* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo +* [ ] [definizione] Base normalizzata +* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a della base normalizzata +* [ ] [**teorema**] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento +* [ ] [**teorema**] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive +## Coordinate omogenee + +* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo canonico +* [ ] [definizione] Coordinate omogenee +* [ ] [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo +* [ ] [definizione] Equazioni cartesiane proiettive +# Spazi proiettivi estendono gli spazi affini + +## Carte affini + +* [ ] [definizione] Iperpiano coordinato +* [ ] [definizione] Carta affine +* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine +* [ ] [definizione] Carta affine +* [ ] [definizione] Punti propri e impropri +* [ ] [**proposizione**] Parte affine +* [ ] [**proposizione**] Chiusura proiettiva +* [ ] [definizione] Polinomio omogeneo +* [ ] [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali +* [ ] [**proposizione**] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele +# Approfondimento sulle proiettivit\`a + +## Prospettivit\`a + +* [ ] [definizione] Prospettivit\`a +* [ ] [**proposizione**] Le prospettivit\`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle prospettivit\`a +## Corrispondenza tra Affinit\`a e Proiettivit\`a + +* [ ] [**proposizione**] Affinit\`a come proiettivit\`a +## Trasformazioni lineari fratte + +* [ ] [definizione] Infinito +* [ ] [definizione] Trasformazione lineare fratta +# Dualit\`a + +* [ ] [definizione] Spazio proiettivo duale +* [ ] [definizione] Riferimento duale +* [ ] [definizione] Corrispondenza di dualit\`a +* [ ] [**teorema**] Principio di dualit\`a +* [ ] [definizione] Sistema lineare di iperpiani +* [ ] [definizione] Fascio di iperpiani +* [ ] [definizione] Proiettivit\`a duale +# Birapporto + +* [ ] [definizione] Birapporto +* [ ] [**proposizione**] Calcolo del birapporto +* [ ] [**proposizione**] Proiettivit\`a conservano birapporto +* [ ] [**proposizione**] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit\`a +* [ ] [definizione] Modulo/j-invariante +# Coniche proiettive + +* [ ] [definizione] Conica proiettiva +## Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche + +* [ ] [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit\`a +* [ ] [definizione] Equivalenza proiettiva +* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive complesse +* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive reali +## Parte affine e chiusura proiettiva + +* [ ] [definizione] Parte affine +* [ ] [definizione] Chiusura proiettiva +* [ ] [definizione] Punti all'infinito di una conica +* [ ] [**proposizione**] Coniche per 5 punti +## Tangenti + +### Intersezioni con rette e riducibilit\`a + +* [ ] [definizione] Componenti e riducibilit\`a +* [ ] [**proposizione**] Numero di intersezioni tra coniche e rette +* [ ] [**proposizione**] Non degenere se e solo se irriducible +### Tangenti + +* [ ] [definizione] Retta tangente +* [ ] [**proposizione**] Equazione della tangente +* [ ] [definizione] Tangenti a conica degenere +## Polarit\`a + +* [ ] [definizione] Retta polare +* [ ] [definizione] Conica duale +## Punti reali e punti complessi + +* [ ] [definizione] Complessificazione +## Sistemi lineari di coniche + +* [ ] [definizione] Sistema lineare di coniche +* [ ] [definizione] Punto base diff --git a/geoemtria-2/topologia.md b/geoemtria-2/topologia.md new file mode 100644 index 0000000..13340dc --- /dev/null +++ b/geoemtria-2/topologia.md @@ -0,0 +1,295 @@ +# Spazi Metrici + +* [ ] [definizione] Spazio metrico +* [ ] [definizione] Distanza punto-insieme +* [ ] [definizione] Norma +* [ ] [definizione] Distanza discreta +* [ ] [definizione] Distanze $p$ +* [ ] [definizione] Distanze $p$ integrali +* [ ] [definizione] Embedding isometrico +* [ ] [definizione] Isometria +* [ ] [definizione] Palla aperta +* [ ] [definizione] Continuità in un punto +* [ ] [definizione] Aperto metrico +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle continue +* [ ] [definizione] Mappa Lipschitziana +# Spazi topologici + +* [ ] [definizione] Spazio topologico +* [ ] [definizione] Topologie discreta e indiscreta +* [ ] [definizione] Topologia cofinita +* [ ] [definizione] Chiuso +* [ ] [definizione] Finezza +## Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche:egin{definition + +* [ ] [definizione] Limitatezza +* [ ] [**proposizione**] Ogni spazio metrico ``è limitato" +## La categoria Top + +* [ ] [definizione] Funzione continua +* [ ] [definizione] Omeomorfismo +## Chiusura e Parte interna + +* [ ] [definizione] Chiusura +* [ ] [definizione] Parte interna +* [ ] [definizione] Frontiera +* [ ] [definizione] Punti aderenti e di accumulazione +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della chiusura +* [ ] [definizione] Insieme denso +## Basi e Prebasi + +* [ ] [definizione] Topologia generata +* [ ] [definizione] Base topologica +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle basi +* [ ] [definizione] Prebase topologica +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia generata +* [ ] [**proposizione**] Criterio per continuità +# Assiomi di Numerabilità e Intorni + +## Intorni + +* [ ] [definizione] Intorno +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni +* [ ] [definizione] Continuità in un punto +* [ ] [**proposizione**] Continua equivale a continua in ogni punto +## Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità + +* [ ] [definizione] Sistema fondamentale di intorni +* [ ] [definizione] I-numerabilità +* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono I-numerabili +## II-numerabilità e Separabilità + +* [ ] [definizione] II-numerabilità +* [ ] [definizione] Separabilità +* [ ] [**teorema**] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono +* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica I-numerabile +## Successioni + +* [ ] [definizione] Successione +* [ ] [definizione] Definitivamente e Frequentemente +* [ ] [definizione] Limite +* [ ] [definizione] Chiuso per successioni +* [ ] [**proposizione**] Chiusura e Chiusura per successioni +* [ ] [definizione] Aperto per successioni +* [ ] [**proposizione**] Parte interna e Parte interna per successioni +* [ ] [definizione] Continuità per successioni +* [ ] [**proposizione**] Continuità e Continuità per successioni +# Topologia di sottospazio + +* [ ] [definizione] Topologia di sottospazio +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia di sottospazio +* [ ] [**proposizione**] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso +* [ ] [**proposizione**] Proprietà universale della topologia di sottospazio +* [ ] [**proposizione**] Restrizione di continua è continua +# Mappe aperte e chiuse + +* [ ] [definizione] Mappe aperte e chiuse +* [ ] [definizione] Immersione topologica +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi +# Prodotti + +* [ ] [definizione] Prodotto cartesiano +* [ ] [definizione] Diagonale +* [ ] [definizione] Topologia prodotto +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia prodotto +* [ ] [definizione] Box topology +* [ ] [**proposizione**] Prodotto di chiusi è chiuso +* [ ] [**proposizione**] Prodotto finito di metrici è metrico +* [ ] [**proposizione**] Prodotto numerabile di metrici è metrico +## Proiezioni da un prodotto in un fattore + +* [ ] [**teorema**] Proprietà universale del prodotto +* [ ] [**teorema**] Le proiezioni sono aperte +## Immersioni dei fattori nel prodotto + +* [ ] [**proposizione**] Immersioni dei fattori nei prodotti +## Topologia della convergenza puntuale + +# Assiomi di separazione + +* [ ] [definizione] Assiomi di separazione +* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono Hausdorff +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_1$ +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_2$ +* [ ] [**teorema**] Unicità del limite per Hausdorff +* [ ] [**proposizione**] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti +* [ ] [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4 +* [ ] [definizione] Regolari e Normali +* [ ] [**proposizione**] Spazi metrici sono normali +* [ ] [**proposizione**] Lemma di Urysohn +* [ ] [**proposizione**] Ereditarietà per sottospazi di $T_3$ e $T_4$ +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di $T_3$ con intorni +* [ ] [**proposizione**] Prodotti di $T_3$ sono $T_3$ +# Ricoprimenti fondamentali + +* [ ] [definizione] Ricoprimento +* [ ] [definizione] Ricoprimento fondamentale +* [ ] [**teorema**] I ricoprimenti aperti sono fondamentali +* [ ] [**teorema**] Incollamento delle funzioni +* [ ] [definizione] Famiglia localmente finita +# Spazi connessi + +* [ ] [definizione] Connessione +* [ ] [definizione] Cammino +* [ ] [definizione] Giunzione +* [ ] [definizione] Connessione per archi +* [ ] [**teorema**] Spazio connesso per archi è connesso +* [ ] [definizione] Insieme convesso +* [ ] [definizione] Intervallo +* [ ] [**teorema**] Connessi su $\R$ +* [ ] [**proposizione**] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso +* [ ] [**proposizione**] Continue preservano connessione +* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi è connesso +* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi +## Componenti connesse + +* [ ] [**proposizione**] Unione di connessi che si intersecano è connessa +* [ ] [definizione] Componente connessa +* [ ] [definizione] Componenti connesse per archi +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi +* [ ] [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia +### Locale connessione per archi + +* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse +* [ ] [**teorema**] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi +* [ ] [**proposizione**] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi +* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte +# Compattezza + +* [ ] [definizione] Spazio compatto +* [ ] [**teorema**] Alexander debole +* [ ] [**teorema**] Alexander +* [ ] [**teorema**] Continue mandano compatti in compatti +* [ ] [definizione] Proprietà dell'intersezione finita +* [ ] [**proposizione**] Formulazione di compattezza con i chiusi +## Sottoinsiemi compatti + +* [ ] [**teorema**] Un chiuso di un compatto è compatto +* [ ] [**teorema**] Compatti in Hausdorff sono chiusi +* [ ] [**proposizione**] Compatto Hausdorff è regolare +* [ ] [**teorema**] Compatto Hausdorff è normale +* [ ] [**teorema**] Continue da compatto a $T_2$ sono chiuse +* [ ] [definizione] Funzione propria +* [ ] [**proposizione**] Proprie a immagine in loc.cpt $T_2$ sono chiuse +## Compattezza per prodotti + +* [ ] [**teorema**] Tychonoff debole +* [ ] [**teorema**] Tychonoff +* [ ] [**teorema**] Wallace +## Compattificazione di Alexandroff + +* [ ] [definizione] Compattificazione +* [ ] [definizione] Compattificazione di Alexandroff +* [ ] [**teorema**] La compattificazione di Alexandroff \`e una compattificazione +* [ ] [**teorema**] Unicità della compattificazione di Alexandroff +### Proiezione stereografica + +* [ ] [definizione] Proiezione stereografica +## Compattezza in spazi metrici + +### Compattezza e assiomi di numerabilità + +* [ ] [definizione] Compattezza sequenziale +* [ ] [definizione] Spazio Lindel\"of +* [ ] [**proposizione**] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto +* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica Lindel\"of +* [ ] [**proposizione**] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile +* [ ] [**proposizione**] Compattezza e Numerabilità +### Limitatezza e Completezza + +* [ ] [**proposizione**] Compatti in metrico sono limitati +* [ ] [definizione] Successione di Cauchy +* [ ] [definizione] Spazio completo +* [ ] [**proposizione**] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente +* [ ] [definizione] Spazio totalmente limitato +* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica limitato +* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica II-numerabile +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di compattezza per metrici +### Numero di Lebesgue e Uniforme continuità + +* [ ] [definizione] Numero di Lebesgue +* [ ] [**teorema**] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue +* [ ] [definizione] Funzione uniformemente continua +* [ ] [**teorema**] Heine-Cantor +* [ ] [**teorema**] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio +### Compattezza in $\R^n$ + +* [ ] [**teorema**] Heine-Borel +* [ ] [**teorema**] Weierstrass +* [ ] [**teorema**] Equivalenza delle norme su $\R^n$ +# Topologia Quoziente + +* [ ] [definizione] Spazio quoziente +* [ ] [**proposizione**] Esistenza e unicit\`a dello spazio quoziente +* [ ] [definizione] Topologia quoziente +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia quoziente +## Passaggio a quoziente e Identificazioni + +* [ ] [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente +* [ ] [definizione] Identificazione +* [ ] [**teorema**] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente +* [ ] [**proposizione**] Criterio sufficiente per definire identificazioni +## Insiemi saturi + +* [ ] [definizione] Insieme saturo +* [ ] [**proposizione**] Gli $f-$saturi sono le preimmagini tramite $f$ +* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi +## Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet + +* [ ] [definizione] Collassamento +* [ ] [definizione] Unione disgiunta +* [ ] [definizione] Bouquet +* [ ] [**proposizione**] I fattori si immergono nel bouquet +* [ ] [**proposizione**] $T_1$ passa al bouquet e immersioni sono chiuse +* [ ] [**proposizione**] $T_2$ passa al bouquet +* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e compatto se e solo se lo sono i fattori +* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e connesso se e solo se lo sono i fattori +# Quozienti per azioni di gruppi + +* [ ] [definizione] Azione +* [ ] [definizione] Orbita e stabilizzatore +* [ ] [definizione] Azione continua +* [ ] [**proposizione**] Proiezioni per quozienti per azione +## Assiomi di Separazione e Azioni + +* [ ] [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su $T_2$ +* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti +* [ ] [**teorema**] Criterio sufficiente per quoziente per azione $T_2$ +## Domini fondamentali + +* [ ] [definizione] Dominio fondamentale +* [ ] [**teorema**] Localmente compatto con dominio fondamentale +# Topologia dei Proiettivi + +## Caso Reale + +* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera +* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco +## Caso Complesso + +* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono omeomorfismi +## Variet\`a topologiche + +* [ ] [definizione] Variet\`a topologica +# Appendice al capitolo 2 + +## Esempi e controesempi + +### Spazi topologici + +### Assiomi di numerabilit\`a + +### Prodotti + +### Assiomi di separazione + +* [ ] [definizione] Retta di Sorgenfrey +### Ricoprimenti + +### Connessi + +### Compattezza + +### Quozienti + diff --git a/meccanica-razionale/README.md b/meccanica-razionale/README.md index 44aa82b..4a6fbb1 100644 --- a/meccanica-razionale/README.md +++ b/meccanica-razionale/README.md @@ -2,47 +2,90 @@ ## Moti centrali +**Teoria:** + +- [x] Definizione campo di forze centrale +- [x] Integrabilità dei moti centrali +- [ ] Legge delle aree +- [ ] Formula di Binet +- [ ] Traiettoria del Moto (angolo di avanzamento) +- [x] Problema dei due corpi +- [x] Problema diretto di keplero +- [x] Problema inverso di keplero + +**Domande:** + - [ ] Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando un’orbita è periodica? -- [ ] Problema diretto di keplero -- [ ] Problema inverso di keplero -- [ ] Problema dei due corpi -- [ ] Formula di Binet - [ ] Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero -- [ ] Definizione e proprietà dell'integrabilità dei moti centrali ## Sistemi di riferimento in moto relativo -- [ ] Definizione di velocità angolare, formule di Poisson, derivata in diversi sistemi di riferimento -- [ ] Potenziale delle forze apparenti -- [ ] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis -- [ ] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida) -- [ ] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare +**Teoria:** + +- [x] Formule di Poisson +- [ ] Velocità angolare (teorema di esistenza ed unicità) +- [x] Derivata temporale di un vettore in un sistema di riferimento diverso +- [x] Equazioni del moto in riferimenti diversi + +**Domande:** + +- [x] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis +- [x] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida) +- [x] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare ## Dinamica dei sistemi di N punti materiali +**Teoria:** + +- [x] Baricentro +- [x] Teorema di König, versione per sistemi di N punti +- [x] Forze interne e forze esterne +- [x] Risultante e Momento Risultante delle forze interne sono nulli +- [x] Sistemi equivalenti di vettori applicati +- [x] Definizione di sistema di vettori equilibrato, equivalenti e operazioni elementari +- [x] Teorema dell'asse centrale + +**Domande:** + - [ ] Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dell’asse centrale -- [ ] Definizione di forze interne di tipo classico e prime proprietà -- [ ] Forze conservative e energia potenziale; forze interne di tipo classico; i sistemi di forze di tipo classico hanno risultante nulla; energia potenziale delle forze di tipo classico -- [ ] Teorema di König, versione per sistemi di N punti -- [ ] Le forze interne ammettono potenziale -- [ ] Parlare dei sistemi equivalenti di vettori applicati -- [ ] Sistemi di vettori applicati +- [ ] Trinomio invariante, esempio: asse centrale per forze di gravità - [ ] Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante) - [ ] Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano) ## Il corpo rigido -- [ ] Definizione di operatore di inerzia e prime proprietà, cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido -- [ ] Asse istantaneo di rotazione +**Teoria:** + +- [ ] Angoli di Eulero +- [x] Formula fondamentale della cinematica del corpo rigido +- [ ] Velocità angolare e angoli di Eulero +- [x] Asse istantaneo di rotazione +- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido +- [ ] Teorema di Chasles +- [x] Operatore di inerzia e prime proprietà +- [x] Scomposizione dell'operatore di inerzia +- [x] Teorema di Huygens-Steiner +- [x] Momenti principali di inerzia e direzioni principali di inerzia + +**Domande:** + - [ ] Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare -- [ ] Definizione di operatore di inerzia e prima proprietà fino al teorema di scomposizione. -- [ ] Huygens-Steiner e un esempio di applicazione +- [ ] Huygens-Steiner: un esempio di applicazione - [ ] Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo -- [ ] Cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido -- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido ## Sistemi vincolati +**Teoria:** + +- [ ] Studio del moto vincolato: base di Frenet +- [ ] Varietà e spazi tangenti +- [ ] Fibrato Tangente +- [x] Varietà delle configurazioni e gradi di liberta del sistema +- [x] Velocità lagrangiane e velocità virtuali +- [x] Vicoli olonomi e analonomi + +**Domande:** + - [ ] Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo - [ ] In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica - [ ] Vincoli ideali @@ -50,41 +93,72 @@ ## Le equazioni cardinali della dinamica -- [ ] Equazioni di Eulero -- [ ] Definizione di equilibrio stabile; come interpreti questa definizione per gli -equilibri stabili della lagrangiana? -- [ ] Equazioni cardinali della dinamica -- [ ] Moto per inerzia (una panoramica di tutti i risultati) +**Teoria:** + +- [x] Equazioni Cardinali +- [x] Equazioni di Eulero +- [x] Moti di Eulero-Poinsot +- [x] Caso simmetria sferica ($I_1 = I_2 = I_3$) +- [x] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$) +- [ ] Caso generico ($I_1 > I_2 > I_3$) +- [x] Definizione di equilibrio stabile ed instabile + +**Domande:** + +- [ ] Come interpreti la definizione di equilibri stabili per gli equilibri stabili della lagrangiana? - [ ] Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto. - [ ] Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché - [ ] Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato) -- [ ] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$), le varie proprietà - [ ] Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange) ## Equazioni di Lagrange -- [ ] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert -- [ ] energia potenziale generalizzata delle forze apparenti, lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento -- [ ] principio di d’Alembert e definizione di forze generalizzate. Calcolo di quest’ultime nel caso dell’asta ruotante -- [ ] Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano -$Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse $y$, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze -- [ ] Potenziali generalizzati +**Teoria:** + +- [x] Vincoli ideali e principio di D’Alembert +- [x] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert (prop. 60) +- [x] Sistemi Lagrangiani (definizione) +- [x] Forze conservative e Lagrangiana +- [x] Energia potenziale generalizzata +- [ ] Energia potenziale generalizzata delle forze apparenti + +**Domande:** + +- [x] Forze generalizzate nel caso dell’asta ruotante, calcolarle. +- [ ] lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento +- [ ] Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano $Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse $y$, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze ## Simmetrie ed integrali primi -- [ ] Riduzione di Routh -- [ ] Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costante) -- [ ] Integrale di Jacobi +**Teoria:** + +- [x] Variabili Cicliche e Momento Coniugato +- [x] Integrale di Jacobi è un integrale primo +- [x] Riduzione di Routh +- [ ] Trottola di Lagrange +- [x] Teorema di Noether + +**Domande** + +- [ ] Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costa- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido +nte) - [ ] Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh? - [ ] Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva) ## Equilibri e stabilità +**Teoria:** + +- [x] Definizione di configurazioni di equilibrio (prima pagina cap. 12) +- [x] Linearizzazione attorno ad un equilibrio +- [x] Funzione di Lyapunov +- [x] Lyapounov (enunciato del teorema) +- [x] Teorema di Lagrange-Dirichlet +- [x] Analisi della stabilità +- [x] Piccole oscillazioni + +**Domande:** + - [ ] Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio) - [ ] Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità -- [ ] Equilibri, Lagrange-Dirichlet -- [ ] Lyapounov (enunciato del teorema) -- [ ] Dimostrare che l'integrale di Jacobi è un integrale primo -- [ ] Piccole oscillazioni -- [ ] Linearizzazione attorno ad un equilibrio