# La categoria hTop

- [ ] [definizione] Omotopia
- [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
- [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
- [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
- [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza

## Funtore delle componenti connesse per archi

- [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$

# Gruppo fondamentale

## Omotopia di cammini

- [ ] [definizione] Omotopia di cammini

## Gruppo Fondamentale

- [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
- [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
- [ ] [definizione] Semplicemente connesso

## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio

- [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
- [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
- [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$

## Funtorialità del gruppo fondamentale

- [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
- [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
- [ ] [definizione] Omotopia puntata
- [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali

## Dipendenze del gruppo fondamentale

- [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
- [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo

# Spazi contraibili e retratti

## Spazi contraibili

- [ ] [definizione] Spazio contraibile
- [ ] [definizione] Insieme stellato
- [ ] [definizione] Insieme Convesso
- [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato

## Retratti di Deformazione

- [ ] [definizione] Retratto
- [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
- [ ] [definizione] Retratto di deformazione

# Rivestimenti

## Omeomorfismi locali

- [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
- [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta

## Rivestimenti

- [ ] [definizione] Rivestimento
- [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
- [ ] [definizione] Fibra
- [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
- [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
- [ ] [definizione] Rivestimento banale
- [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua

## Sollevamenti

- [ ] [definizione] Sollevamento
- [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
- [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
- [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini

# Azione di Monodromia

- [ ] [definizione] Azione di monodromia
- [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia

### Sollevamento di mappe qualsiasi

- [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi

## Applicazioni dell'azione di Monodromia

- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
- [ ] [**teorema**] Teorema di Brower

# Teorema di Seifert-Van Kampen

- [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen

# Calcolo del Gruppo fondamentale

## Gruppo fondamentale del prodotto

- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto

## Prodotto libero e gruppi liberi

- [ ] [definizione] Prodotto libero
- [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
- [ ] [definizione] Gruppo libero
- [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero

## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse

- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze

## Prodotto amalgamato

- [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato

## Presentazioni di gruppi

- [ ] [definizione] Presentazione
- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
- [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato

## Rango

- [ ] [definizione] Rango

## Gruppi fondamentali di proiettivi

- [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
- [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali

## Gruppi fondamentali di superfici

### Toro

- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro

### Superfici con dato genere

- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
- [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
- [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi

# Rivestimento Universale

- [ ] [definizione] Rivestimento universale
- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
- [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
- [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali

## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti

- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
- [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
- [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano

### Isomorfismi di rivestimenti

- [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi

## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois

- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
- [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
- [ ] [definizione] Rivestimento regolare
- [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
- [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
- [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
- [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari

## Applicazioni della teoria dei rivestimenti

- [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam