# La categoria hTop * [ ] [definizione] Omotopia * [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza * [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia * [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica * [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza ## Funtore delle componenti connesse per archi * [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$ # Gruppo fondamentale ## Omotopia di cammini * [ ] [definizione] Omotopia di cammini ## Gruppo Fondamentale * [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale * [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo * [ ] [definizione] Semplicemente connesso ## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio * [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale * [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$ * [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$ ## Funtorialità del gruppo fondamentale * [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati * [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$ * [ ] [definizione] Omotopia puntata * [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali ## Dipendenze del gruppo fondamentale * [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo * [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo # Spazi contraibili e retratti ## Spazi contraibili * [ ] [definizione] Spazio contraibile * [ ] [definizione] Insieme stellato * [ ] [definizione] Insieme Convesso * [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato ## Retratti di Deformazione * [ ] [definizione] Retratto * [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti * [ ] [definizione] Retratto di deformazione # Rivestimenti ## Omeomorfismi locali * [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale * [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta ## Rivestimenti * [ ] [definizione] Rivestimento * [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale * [ ] [definizione] Fibra * [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre * [ ] [definizione] Grado di un rivestimento * [ ] [definizione] Rivestimento banale * [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua ## Sollevamenti * [ ] [definizione] Sollevamento * [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento * [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini * [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia * [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini # Azione di Monodromia * [ ] [definizione] Azione di monodromia * [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia ### Sollevamento di mappe qualsiasi * [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi ## Applicazioni dell'azione di Monodromia * [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio * [ ] [**teorema**] Teorema di Brower # Teorema di Seifert-Van Kampen * [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen # Calcolo del Gruppo fondamentale ## Gruppo fondamentale del prodotto * [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto ## Prodotto libero e gruppi liberi * [ ] [definizione] Prodotto libero * [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero * [ ] [definizione] Gruppo libero * [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero ## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse * [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze ## Prodotto amalgamato * [ ] [definizione] Prodotto amalgamato * [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato ## Presentazioni di gruppi * [ ] [definizione] Presentazione * [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni * [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato ## Rango * [ ] [definizione] Rango ## Gruppi fondamentali di proiettivi * [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi * [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali ## Gruppi fondamentali di superfici ### Toro * [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro ### Superfici con dato genere * [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$ * [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$ * [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi # Rivestimento Universale * [ ] [definizione] Rivestimento universale * [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione * [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso * [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali ## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti * [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale * [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti * [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti * [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano ### Isomorfismi di rivestimenti * [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto * [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi ## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois * [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua * [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo * [ ] [definizione] Rivestimento regolare * [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari * [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari * [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale * [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari ## Applicazioni della teoria dei rivestimenti * [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam