# Domande Orali di Geometria 2

## Proiettiva

- [ ] Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
- [ ] Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità
- [ ] Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive
- [ ] Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva $C = [F]$ in $\mathbb{C}$ con una retta?
- [ ] Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
- [ ] Prendiamo due triple di rette in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre
- [ ] Principio di dualità
- [ ] Cosa è un sistema lineare di coniche
- [ ] Parlare di rette polari e coniche duali
- [ ] Se ho un punto che passa per una sola retta polare rispetto ad una conica non genere cosa sai dire su P?

## Topologia

- [ ] Prodotto numerabile di metrizzabili é metrizzabile
- [ ] controesempio quando il prodotto é più che numerabile
- [ ] Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta
- [ ] Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
- [ ] CPA $\implies$ connesso
- [ ] $[0,1]$ connesso
- [ ] Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è T2.
- [ ] Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto
- [ ] Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
- [ ] Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
- [ ] Esempio di un connesso non connesso per archi
- [ ] $Y$ connesso. $Y ⊆ Z ⊆ \overline{Y} \implies Z$ connesso
- [ ] Determinare chiusura dell'insieme $\\{0\\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, e di $\\{0\\} \times (]0,1[  \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, chi sono i bordi in $\mathbb{R}^2$ di questi insiemi?
- [ ] Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
- [ ] In $\mathbb{R}^n$ connesso sse connesso per archi
- [ ] Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
- [ ] $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ è aperta/chiusa/propria?
- [ ] Prodotto di due spazi compatti è compatto
- [ ] Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di $X \times Y$)
- [ ] Un aperto di $\mathbb{R}^n$ connesso è connesso per archi
- [ ] connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi
- [ ] la connessione per archi è relazione di equivalenza
- [ ] Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
- [ ] Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile $\iff$ normale $\iff$ regolare $\iff$ T2
- [ ] Come ottenere $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ da $D_n$ (dettagliata).
- [ ] Compattezza in spazi metrici.
- [ ] $X = [0, 1)$, topologia di base: $(a, b)$, con $a > 0$, e $[0, a)\cup(b, 1)$, con $0 < a < b < 1$.
- [ ] Consideriamo la striscia in $\mathbb{R}_2$ tra le rette $x = 0$ e $x = 1$ comprese e quozientiamolo con la relazione $(0, y) \sim (1, -y)$. Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica?
      È più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? È compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? ($S_1$) Un esempio di tale omeomorfismo? ($t \mapsto e^{2πit}$).
- [ ] Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi $\implies$ Connesso (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
- [ ] X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
- [ ] Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti.
- [ ] Prendiamo $X = \mathbb{R}$, $x \sim y$ sse $(x-y) \in \mathbb{Q}$: la topologia quoziente si può descrivere facilmente...
      Chi sono gli aperti di questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
- [ ] Spazio delle matrici $n\times n$ reali quozientate per azione di coniugio di $\text{GL}_n(\mathbb{R})$. Lo spazio ottenuto è T1, T2?\*
- [ ] spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione

## Algebrica

- [ ] Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?
- [ ] Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$
- [ ] $\mathbb{R}³$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
- [ ] Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb{R}^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb{R}^2 \setminus\{0\}$ su $(\mathbb{R}_2 \setminus\{0\})/G$.
- [ ] Ultima domanda dell'esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
- [ ] Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà
- [ ] Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$
- [ ] Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
- [ ] O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$
- [ ] Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$
- [ ] Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale
- [ ] Parlami delle azione propriamente discontinue, facendo esempi, e dimmi come sono legate nella teoria dei rivestimenti
- [ ] Definizione di automorfismo di un rivestimento e mostra che ha azione libera
- [ ] Legame tra uno spazio contraibile e il retratto di deformazione
- [ ] Uno spazio che si retrae per deformazione ad un suo punto è contraibile, non vale il viceversa. Fai esempio (pettine infinito)
- [ ] Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
- [ ] Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
- [ ] Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
- [ ] Calcolare n-proiettivo reale
- [ ] Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione?
- [ ] Esempio di rivestimento non regolare
- [ ] Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze
- [ ] Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $\pi_1(E)$ è normale
- [ ] Gruppo fondamentale di $\mathbb{P}_n(\mathbb{C})$
- [ ] Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
- [ ] Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
- [ ] Automorfismi del disco
- [ ] Dato $S^1 \vee S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ ed $N(\langle a \rangle)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
- [ ] Gruppo fondamentale del toro
- [ ] Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
- [ ] Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
- [ ] Calcolare il $\pi_1(S_1)$. ($\cong\mathbb{Z}$)
- [ ] $\pi_1(\mathbb{P}^n(\mathbb{R}))$ (discorso generale).
- [ ] Il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
- [ ] Chi è il rivestimento universale del toro?
- [ ] Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$?
- [ ] Definizione di Rivestimento
- [ ] Condizione su $E$ affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
- [ ] Teorema fondamentale dell’Algebra.
- [ ] Se $p: E\to X$ rivestimento universale, è vero che $p^{-1}(S)$ è un rivestimento di $S \subseteq X$? (risposta: sì). Quando $p^{-1}(S)$ è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: $i_*$ suriettiva, dove $i$ è la mappa di inclusione).
- [ ] $\mathbb{R}^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
- [ ] Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
- [ ] Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?

## Complessa

- [ ] Zeri di funzioni olomorfe
- [ ] Teorema di Rouché.
- [ ] Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati, teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema?
- [ ] Olomorfa $\implies$analitica
- [ ] Definizione funzione olomorfa.
- [ ] Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
- [ ] Forme chiuse e esatte, relazioni tra le due
- [ ] Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteciplità?
- [ ] Invertibiltà locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
- [ ] definizioni funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe.
- [ ] Dimostrazione teorema di Weiestrass
- [ ] Liouville
- [ ] Definizione indice di avvolgimento.
- [ ] Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
- [ ] Olomorfa $\implies$ Analitica
- [ ] Principio del massimo modulo
- [ ] Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
- [ ] Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.
- [ ] Olomorfa sse analitica
- [ ] $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
- [ ] Per quali $a$ complessi esiste $f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a\cdot f(z)/z$?
- [ ] $f$ olomorfa in $U\setminus z$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
- [ ] Derivata logaritmica
- [ ] Definire l'integrale di forme chiuse su curve continue
- [ ] accenni di dimostrazione di "integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope", un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
- [ ] Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze
- [ ] Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
- [ ] Equazione di Cauchy-Riemann.
- [ ] Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa ( $f(z) = \bar{z}$ )
- [ ] Data $f : U \setminus{z_0} \to C$, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a $\lim_{z\to z_0}{|f(z)|}$?
- [ ] Esempio di funzione con una singolarità essenziale? ($f(z) = e^{1/z}$)
- [ ] Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
- [ ] Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? Togliendo il segmento $[0, 1]$, il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
- [ ] Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso.
- [ ] Teorema di Riemann-Weierstrass.
- [ ] Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo $\leq k\cdot z^d$ con $d$ fissato? (risposta $a\cdot x^d$ con $|a|\leq |k|$).