# Spazi proiettivi e nozioni introduttive

## Spazio proiettivo

* [ ] [definizione] Spazio Proiettivo
* [ ] [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo
* [ ] [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi
* [ ] [definizione] Spazio proiettivo standard
## Trasformazioni Proiettive

* [ ] [definizione] Trasformazione proiettiva
* [ ] [definizione] Isomorfismo proiettivo
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi
* [ ] [definizione] Proiettivit\`a
## Sottospazi proiettivi

* [ ] [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO)
* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo
* [ ] [definizione] Iperpiano proiettivo
* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali
* [ ] [**proposizione**] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione
* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo generato
* [ ] [**proposizione**] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali
* [ ] [**proposizione**] Trasformazioni proiettive rispettano i generati
* [ ] [**teorema**] Formula di Grassmann proiettiva
## Riferimenti proiettivi

* [ ] [definizione] Punti indipendenti
* [ ] [definizione] Posizione generale
* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo
* [ ] [definizione] Base normalizzata
* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a della base normalizzata
* [ ] [**teorema**] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento
* [ ] [**teorema**] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
## Coordinate omogenee

* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo canonico
* [ ] [definizione] Coordinate omogenee
* [ ] [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo
* [ ] [definizione] Equazioni cartesiane proiettive
# Spazi proiettivi estendono gli spazi affini

## Carte affini

* [ ] [definizione] Iperpiano coordinato
* [ ] [definizione] Carta affine
* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine
* [ ] [definizione] Carta affine
* [ ] [definizione] Punti propri e impropri
* [ ] [**proposizione**] Parte affine
* [ ] [**proposizione**] Chiusura proiettiva
* [ ] [definizione] Polinomio omogeneo
* [ ] [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali
* [ ] [**proposizione**] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele
# Approfondimento sulle proiettivit\`a

## Prospettivit\`a

* [ ] [definizione] Prospettivit\`a
* [ ] [**proposizione**] Le prospettivit\`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle prospettivit\`a
## Corrispondenza tra Affinit\`a e Proiettivit\`a

* [ ] [**proposizione**] Affinit\`a come proiettivit\`a
## Trasformazioni lineari fratte

* [ ] [definizione] Infinito
* [ ] [definizione] Trasformazione lineare fratta
# Dualit\`a

* [ ] [definizione] Spazio proiettivo duale
* [ ] [definizione] Riferimento duale
* [ ] [definizione] Corrispondenza di dualit\`a
* [ ] [**teorema**] Principio di dualit\`a
* [ ] [definizione] Sistema lineare di iperpiani
* [ ] [definizione] Fascio di iperpiani
* [ ] [definizione] Proiettivit\`a duale
# Birapporto

* [ ] [definizione] Birapporto
* [ ] [**proposizione**] Calcolo del birapporto
* [ ] [**proposizione**] Proiettivit\`a conservano birapporto
* [ ] [**proposizione**] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit\`a
* [ ] [definizione] Modulo/j-invariante
# Coniche proiettive

* [ ] [definizione] Conica proiettiva
## Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche

* [ ] [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit\`a
* [ ] [definizione] Equivalenza proiettiva
* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive complesse
* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive reali
## Parte affine e chiusura proiettiva

* [ ] [definizione] Parte affine
* [ ] [definizione] Chiusura proiettiva
* [ ] [definizione] Punti all'infinito di una conica
* [ ] [**proposizione**] Coniche per 5 punti
## Tangenti

### Intersezioni con rette e riducibilit\`a

* [ ] [definizione] Componenti e riducibilit\`a
* [ ] [**proposizione**] Numero di intersezioni tra coniche e rette
* [ ] [**proposizione**] Non degenere se e solo se irriducible
### Tangenti

* [ ] [definizione] Retta tangente
* [ ] [**proposizione**] Equazione della tangente
* [ ] [definizione] Tangenti a conica degenere
## Polarit\`a

* [ ] [definizione] Retta polare
* [ ] [definizione] Conica duale
## Punti reali e punti complessi

* [ ] [definizione] Complessificazione
## Sistemi lineari di coniche

* [ ] [definizione] Sistema lineare di coniche
* [ ] [definizione] Punto base