# DOMANDE ORALI MECCANICA RAZIONALE

## Moti centrali

**Teoria:**

- [x] Definizione campo di forze centrale
- [x] Integrabilità dei moti centrali
- [ ] Legge delle aree
- [ ] Formula di Binet
- [ ] Traiettoria del Moto (angolo di avanzamento)
- [x] Problema dei due corpi
- [x] Problema diretto di keplero
- [x] Problema inverso di keplero

**Domande:**

- [ ]  Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando un’orbita è periodica?
- [ ]  Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero

## Sistemi di riferimento in moto relativo

**Teoria:**

- [x] Formule di Poisson
- [ ] Velocità angolare (teorema di esistenza ed unicità)
- [x] Derivata temporale di un vettore in un sistema di riferimento diverso
- [x] Equazioni del moto in riferimenti diversi

**Domande:**

- [x] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
- [x] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
- [x] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare

## Dinamica dei sistemi di N punti materiali

**Teoria:**

- [x] Baricentro
- [x]  Teorema di König, versione per sistemi di N punti
- [x] Forze interne e forze esterne
- [x] Risultante e Momento Risultante delle forze interne sono nulli
- [x] Sistemi equivalenti di vettori applicati
- [x] Definizione di sistema di vettori equilibrato, equivalenti e operazioni elementari
- [x] Teorema dell'asse centrale

**Domande:**

- [ ]  Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dell’asse centrale
- [ ] Trinomio invariante, esempio: asse centrale per forze di gravità
- [ ]  Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante)
- [ ]  Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano)

## Il corpo rigido

**Teoria:**

- [ ] Angoli di Eulero
- [x] Formula fondamentale della cinematica del corpo rigido
- [ ] Velocità angolare e angoli di Eulero
- [x] Asse istantaneo di rotazione
- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
- [ ] Teorema di Chasles
- [x] Operatore di inerzia e prime proprietà
- [x] Scomposizione dell'operatore di inerzia
- [x] Teorema di Huygens-Steiner
- [x] Momenti principali di inerzia e direzioni principali di inerzia

**Domande:**

- [ ]  Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare
- [ ]  Huygens-Steiner: un esempio di applicazione
- [ ]  Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo

## Sistemi vincolati

**Teoria:**

- [ ] Studio del moto vincolato: base di Frenet
- [ ] Varietà e spazi tangenti
- [ ] Fibrato Tangente
- [x] Varietà delle configurazioni e gradi di liberta del sistema
- [x] Velocità lagrangiane e velocità virtuali
- [x] Vicoli olonomi e analonomi

**Domande:**

- [ ] Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo
- [ ] In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
- [ ] Vincoli ideali
- [ ] Dimostrare che il vincolo di rigidità di un corpo rigido è un vincolo olonomo e ideale

## Le equazioni cardinali della dinamica

**Teoria:**

- [x] Equazioni Cardinali
- [x] Equazioni di Eulero
- [x] Moti di Eulero-Poinsot
- [x] Caso simmetria sferica ($I_1 = I_2 = I_3$)
- [x] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$)
- [ ] Caso generico ($I_1 > I_2 > I_3$)
- [x] Definizione di equilibrio stabile ed instabile

**Domande:**

- [ ] Come interpreti la definizione di equilibri stabili per gli equilibri stabili della lagrangiana?
- [ ] Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto.
- [ ] Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché
- [ ]  Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
- [ ] Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange)


## Equazioni di Lagrange

**Teoria:**

- [x] Vincoli ideali e principio di D’Alembert
- [x] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert (prop. 60)
- [x] Sistemi Lagrangiani (definizione)
- [x] Forze conservative e Lagrangiana
- [x] Energia potenziale generalizzata
- [ ] Energia potenziale generalizzata delle forze apparenti

**Domande:**

- [x] Forze generalizzate nel caso dell’asta ruotante, calcolarle.
- [ ] lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
- [ ]  Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano $Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse $y$, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze

## Simmetrie ed integrali primi

**Teoria:**

- [x] Variabili Cicliche e Momento Coniugato
- [x] Integrale di Jacobi è un integrale primo
- [x] Riduzione di Routh
- [ ] Trottola di Lagrange
- [x] Teorema di Noether

**Domande**

- [ ]  Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costa- [ ]  Campo delle velocità di un corpo rigido
nte)
- [ ] Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh?
- [ ] Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva)

## Equilibri e stabilità

**Teoria:**

- [x] Definizione di configurazioni di equilibrio (prima pagina cap. 12)
- [x]  Linearizzazione attorno ad un equilibrio
- [x]  Funzione di Lyapunov
- [x]  Lyapounov (enunciato del teorema)
- [x]  Teorema di Lagrange-Dirichlet
- [x]  Analisi della stabilità
- [x]  Piccole oscillazioni

**Domande:**

- [ ]  Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
- [ ]  Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità