Se ${\alpha_n}$ è una collezione di variabili casuali indipendenti, allora $X_{n+1}$ è condizionalmente indipendente da $X_0, \ldots, X_{n-1}$ se $X_n$ è noto.
% Se, inoltre, le $\alpha_n$ sono identicamente distribuite, allora ${X_n}$ è omogenea.
Una GI/M/1-type Markov chain assume che il tempo tra gli arrivi e il tempo di servizio dei clienti seguano una distribuzione generica, mentre è presente un solo server.
Un \emph{quasi-death-birth process} (QBD) è un caso particolare di una catena di Markov a tempo continuo (CTMC). Ci sono due tipi di eventi che possono verificarsi: eventi di morte e eventi di nascita.
Imponendo le restrizioni di entrambi i tipi di code $M/G/1$ che delle $G/M/1$, si vietano transizioni di più di livello alla volta, ottenendo così un processo QBD.
Il generatore infinitesimale di un processo QBD è una matrice tridiagonale a blocchi infinita $Q$ che descrive la probabilità di transizione del sistema da uno stato $i$ ad uno stato $j$, in un dato istante di tempo $t$, attraverso un evento infinitesimo
% Si potrebbe pensare al QBD come un semplice lista lineare in evoluzione: ogni livello è un nodo nella lista ed il processo è autorizzato a muoversi da un nodo ad uno dei suoi due vicini.
% \end{block}
% \end{frame}
% \begin{frame}
% \frametitle{Generatore infinitesimale del processo QBD}
% \begin{block}{Proprietà degli elementi non diagonali}
% Per tutte le $i \neq j$, $Q_{i,j}$ è il rate istantaneo di transizione dallo stato $i$ allo stato $j$. $Q_{i,j}$ è non negativo e strettamente positivo se è possibile spostarsi da $i$ a $j$ in un solo salto.
% \end{block}
% \begin{block}{Proprietà degli elementi diagonali}
Allora, il processo stocastico $\{\zeta_t=(i_t,n_t,\xi_t),,t\geq0\}$ che descrive il comportamento del modello in esame è un CTMC regolare e irriducibile.
Enumerando gli stati della CTMC, $\{\zeta_t,t\geq0\}$, in ordine lessicografico e indicando con $i$ il livello, per $i\geq0$, definiamo l'insieme di stati come
\item [$\otimes$] indica il prodotto di Kronecker per matrici
\item [$E_l^-$] è una matrice quadrata di dimensioni $l+1$ con $(E_l^-)_{k,k-1}=1$ per $1\leq k \leq l$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$\widehat{I_l}$] è una matrice quadrata di dimensioni $l+1$ con $(\widehat{I_l})_{k,k}=1$ per $0\leq k \leq l-1$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$\overline{I_l}$] è una matrice quadrata di dimensioni $l+1$ con $(\overline{I_l})_{0,0}=1$ e tutte le altre componenti nulle.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Generatore infinitesimale del processo QBD}
Mentre abbiamo
\begin{block}{}
$$ Q_{i,i+1}= E_i^+\otimes D_1\qquad0\leq i \leq L-1$$
\end{block}
\begin{block}{}
$$ Q_{1,0}=(1-\nu)\mu_2\widetilde{E}_1^-\otimes I_m +\mu_1 I_1^-\otimes I_m \qquad1\leq i \leq L $$
\end{block}
\begin{block}{}
$$ Q_{i,i-1}=(1-\nu)\mu_2\widetilde{E}_i^-\otimes I_m + q \mu_1 I_i^-\otimes I_m +(1-q)\mu_1 I_i^+\otimes I_m \qquad1\leq i \leq L $$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Generatore infinitesimale del processo QBD}
\item [$\widetilde{E}_l^-$] è una matrice di dimensioni $(l+1)\times l$ con $(\widetilde{E}_l^-)_{k,k-1}=1$ per $1\leq k \leq l$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$I_l^-$] è una matrice di dimensioni $(l+1)\times l$ con $(I_l^-)_{k,k}=1$ per $0\leq k \leq l-1$ e tutte le altre componenti nulle.
\item [$I_l^+$] è una matrice di dimensioni $(l+1)\times l$ con $(I_l^+)_{0,l-1}=1, (I_l^+)_{k,k}=1$ per $1\leq k \leq l-1$ e tutte le altre componenti nulle.
% Il seguente risultato stabilisce la condizione di ergodicità del processo QBD che governa il sistema in esame.
In un processo ergodico la sua distribuzione di probabilità si stabilisce su un valore costante a lungo termine, indipendentemente dalle condizioni iniziali.
per sostituzione diretta, verifichiamo che le componenti del vettore $x =(x_0, x_1, ... , x_L)$, corrispondenti alle uniche soluzioni del sistema visto prima, sono date da
x_0 = \frac{\mu_2}{L(1-q)\mu_1 + \mu_2}, \qquad x_i = \frac{\mu_1(1-q)}{L(1-q)\mu_1 + \mu_2}, \qquad i = 1, ..., L
\end{equation*}
La tesi segue delle equazioni viste in precedenza assieme alla definizione di $\lambda$.
\qed
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Osservazioni sulla dimostrazione}
\begin{block}{Osservazione 1}
\begin{itemize}
\item La condizione di ergodicità richiede che il tasso di arrivo dei clienti per unità di tempo debba essere inferiore al tasso di servizio che i clienti ricevono per unità di tempo quando il sistema è sovraccarico.
\item Il tasso di servizio medio totale nel modello di coda è dato dalla somma del tasso di servizio fornito dal server principale e del tasso di servizio fornito dal server secondario.
\end{itemize}
Possiamo esprimere il tasso di servizio medio totale come segue:
Calcoliamo la probabilità $x_0$ che il secondo server non sia presente nel sistema in un qualsiasi momento in cui il sistema è sovraccarico.
\begin{itemize}
\item Quando il sistema attiva un server secondario la durata media del server secondario continuamente presente nel sistema è data da $\frac{L}{\mu_2}$. Pertanto, abbiamo:
% In altre parole, la distribuzione stazionaria è la distribuzione di probabilità di trovare il sistema in uno stato particolare quando il tempo tende all'infinito.
Sotto l'assunzione che la condizione di ergodicità sia valida, esistono le seguenti probabilità stazionarie degli stati del CTMC $\{\zeta_t, t \geq0\}$:
% La soluzione del problema di calcolo della distribuzione stazionaria di una QBD indipendente dal livello è ben nota; si veda [37]. Per i livelli in cui le transizioni della QBD non dipendono dal livello, i vettori di probabilità stazionaria sono trovati in forma matriciale geometrica. I vettori di probabilità stazionaria dei livelli di confine, in cui le transizioni della QBD dipendono dal livello, sono quindi direttamente trovati come soluzione del sistema di equazioni algebriche lineari. Tuttavia, se il numero di livelli di confine è grande (cosa che accade nel nostro modello se $L$ è grande), questo sistema ha una grande dimensione
\begin{frame}
\frametitle{Algoritmo per risolvere il sistema di equazioni di equilibrio}
Vediamo un algoritmo che sfrutta la struttura tridiagonale a blocchi del generatore, ma dipendente dal livello, per risolvere più efficientemente il sistema di equazioni lineari algebriche quando il numero di livelli di confine è elevato.
\item L'algoritmo proposto è una modifica dell'algoritmo per il calcolo della distribuzione stazionaria di una CTMC asintotica quasi-Toeplitz.
% \item Utilizzando la ricorsione di vettori anziché quella di matrici si ha una significativa riduzione della complessità in tempo e spazio.
\item L'esistenza delle inverse delle matrici che appaiono nell'algoritmo segue immediatamente dal teorema di O. Tausska
\item Le inverse delle matrici utilizzate nell'algoritmo sono sub-generatori irriducibili e semi-stabili (e quindi le inverse dei negativi di queste matrici sono non
negative), il che rende stabile l'implementazione numerica dell'algoritmo.
Distribuzione iper-esponenziale con una probabilità di mixing data da (0.5, 0.3, 0.15, 0.04, 0.01) con i corrispondenti tassi della distribuzione esponenziale pari a (1.09, 0.545, 0.2725, 0.13625, 0.068125). Qui abbiamo $\lambda=0.5, \sigma=3.3942$ e $\rho_c =0$.
% \item Il \textbf{PCR} ha un alto numero medio di clienti nel sistema rispetto ad altri processi di arrivo.
% \item $L$ aumenta il numero medio di clienti nel sistema per i primi quattro \emph{MAP}, ma per il \textbf{PCR} il trend non è crescente a causa della correlazione positiva.
% \item Alti valori di $L$ aumentano la probabilità di avere più clienti nel sistema, soprattutto per i primi quattro \emph{MAP}.
% \item Per gli arrivi \textbf{PCR}, $L$ diminuisce il numero medio di clienti nel sistema perché i server secondari aiutano a ripulire la coda.
% \item $L_{\mathrm{sec}}$ aumenta all'aumentare di L, come previsto.
% \item Il valore di $L_{\mathrm{sec}}$ è elevato per \textbf{PCR} e solo per valori piccoli di L è inferiore per \textbf{ERL-NCR}.
% \item L'alta irregolarità degli arrivi nel processo \textbf{PCR} causa la "fame" del sistema, durante la quale solo il server primario è occupato offrendo servizi per la maggior parte dei clienti.
\caption{Dipendenza della probabilità $P_{\mathrm{idle-system}}$ rispetto ad $L$ che il sistema sia in idle ad un momento arbitrario, per diversi \emph{MAPs}}
% \item Esiste una grande differenza nella misura a seconda dei diversi \emph{MAPs} utilizzati.
% \item Il valore ottimale di $L$ dipende dall'obiettivo: ad esempio, per il processo di arrivo \textbf{PCR}, il valore ottimale di $L$ è $16$ se si cerca di minimizzare $L_{\mathrm{system}}$, ma è 6 se si massimizza $P_{\mathrm{idle-system}}$.
\caption{Dipendenza della probabilità $P_{\mathrm{idle-busy}}$ rispetto ad $L$ che il main server sia in idle quando il server secondario è in occupato, per diversi \emph{MAPs}}
\caption{Dipendenza della probabilità $P_{\mathrm{busy-idle}}$ rispetto ad $L$ che il main server sia occupato quando il server secondario è in idle, per diversi \emph{MAPs}}
Fissiamo il valore di $L$ a $10$ e i tassi di servizio $\mu_1$ e $\mu_2$ a $1$ e $0.5$. Si variano i valori di $q$ e $\nu$ da $0$ a $1$ con passo $0.05$ e si analizza l'impatto sulle misure di prestazione del sistema.
% In questo esempio ci concentriamo sul processo di arrivo PCR, la cui scelta è basata sul comportamento di questo processo sulle misure evidenziato nel primo esempio illustrativo
% \item L'analisi mostra che il valore di $L_\mathrm{system}$ è minimo a $7.9328$ quando $q$ e $\nu$ sono entrambi uguali a $0$.
% \item Aumentando $q$ o $\nu$, il valore di $L_\mathrm{system}$ aumenta, con un aumento più veloce quando uno o entrambi si avvicinano a $1$.
% \item Quando $q=1$, il sistema diventa un modello \emph{MAP}/M/1 classico e il valore di $L_\mathrm{system}$ diventa $22.30425$ per tutti i valori di $\nu$.
% \item L'uso di un server secondario riduce il numero medio di clienti nel sistema di oltre il $40\%,$ e il punto di interruzione per il modello classico è $\nu^* \sim 0.985$.
\item Ciò suggerisce che con l'aggiunta di un server secondario, il sistema beneficia notevolmente l'aumento del carico del sistema (anche con un tasso di insoddisfazione del cliente del 50\%).
% \item $L_\mathrm{sec}$ diminuisce significativamente quando $q$ si avvicina a $1$ e quando i clienti sono raramente reclutati per diventare server secondari.
% \item $L_\mathrm{sec}$ ha il valore massimo quando $q$ è uguale a zero e $\nu$ è vicino a $1$, ma questo può creare ulteriore lavoro per il sistema e riflettersi negativamente sulla fornitura di servizi.
% \item $P_\mathrm{idle-system}$ ha il valore minimo di $0.4445$ quando $\nu=1$ e $q=0$, il che è intuitivo poiché servire nuovamente i clienti dopo aver passato attraverso un server secondario mette un carico sul sistema.
% \item $P_\mathrm{idle-system}$ aumenta quando $q$ aumenta e/o $\nu$ diminuisce, con un valore massimo di $0.5652$ ottenuto quando $q=0.65$ e $\nu=0$.
% \item Nel sistema \emph{MAP}/M/1 classico corrispondente, questa misura è $P_\mathrm{idle-system}=0.5$.
\item I parametri fissati sono $L=10$, $q=0.5$, $\nu=0.4$, e $\lambda=0.5$.
\item I tassi $\mu_1$ e $\mu_2$ vengono variati da $0.25$ a $2.0$ con incrementi di $0.05$, ma per soddisfare la condizione di ergodicità, il valore di $\mu_2$ viene limitato quando $\mu_1$ è piccolo.
\item Solo per $\mu_1\geq0.4$, il valore di $\mu_2$ può essere variato da $0.25$, come originariamente indicato
% \item Il valore massimo di $L_{sec}$ è di circa 5 quando $\mu_1$ e $\mu_2$ sono piccoli.
% \item Con un aumento di $\mu_1$ e $\mu_2$, il valore di $L_{sec}$ diminuisce come ci si aspetterebbe.
% \item Per valori piccoli di $\mu_1$, la diminuzione è significativa all'aumentare di $\mu_2$; per valori più grandi di $\mu_1$, notiamo un tasso insignificante di diminuzione in $L_{sec}$ con un aumento di $\mu_2$.
% \item Il sistema di coda analizzato prevede la possibilità di reclutare un cliente già servito come server secondario per aiutare il server principale.
% \item Il processo di arrivo dei clienti è stato modellizzato utilizzando un processo di punto Markoviano versatile, \emph{MAP}.
% \item È stata considerata la possibilità che i clienti insoddisfatti con il servizio fornito dal server secondario possano ritornare nel sistema.
% \item L'analisi dello stato stazionario della catena di Markov multidimensionale ha permesso di ottenere risultati numerici utili per prendere decisioni manageriali.
\item Introdurre l'ipotesi di impazienza dei clienti
\item Incorporare la possibilità di reclutare molti server secondari con due tipi di clienti, in modo che solo un tipo possa qualificarsi per agire come server secondario.
\begin{frame}{Approfondimento - GI/M/1 type Markov Chains}
\begin{block}{}
Una coda di tipo GI/M/1 è un processo stocastico che modella il comportamento di un sistema di code con un singolo server
\end{block}
\begin{itemize}
\item [GI] \emph{General inter-arrival time distribution} distribuzione del tempo tra gli arrivi dei clienti alla coda.
\item [M] \emph{Markovian service time distribution}: si riferisce alla distribuzione dei tempi di servizio per ciascun cliente, che viene assunta essere un processo di Markov.
\item [1] \emph{One server}: un solo server nel sistema, e che solo un cliente alla volta può essere servito.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Code di tipo GI/M/1}
\begin{block}{}
Definiamo come prima cosa lo spazio degli stati $\Omega$ del CTMC come:
$$\Omega=\{(i,j,k) ~ : ~ i \geq0, 0\leq j \leq K, 1\leq k \leq m \}$$
\item il livello $(\textbf{i},\textbf{j})$ indica che il server principale è occupato, ci sono $i-1$ clienti in attesa nella coda principale; il server secondario è occupato e il processo di arrivo si trova in varie fasi
\item Il livello $(\textbf{0},\textbf{0})$ corrisponde al sistema inattivo con il processo \emph{MAP} in una delle $m$ fasi.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Il generatore del CTMC}
Il generatore $\widetilde{Q}$ della CTMC che governa il sistema in studio è:
Data $R$ la matrice di rate, soddisfa l'equazione matriciale non lineare data da:
$$ R^{L+2} A_{L+2}+ R^2A_2+ RA_1+ A_0=0$$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Proprietà delle queue di tipo GI/M/1}
\begin{block}{Proprietà 4}
Indicando con $\widetilde{\pi}$ il vettore di probabilità stazionario del generatore $\widetilde{Q}$ come visto prima, otteniamo qui la soluzione matriciale geometrica classica:
$$\widetilde{\pi}_i =\widetilde{\pi}_0R^i, \qquad i \geq1$$
dove $\widetilde{\pi}_0$ è ottenuto risolvendo il seguente sistema di equazioni lineari:
