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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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import Mathlib.Tactic.Contrapose
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import Mathlib.Tactic.Use
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import Mathlib.Tactic.Ring
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import TestGame.ToBePorted
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Game "TestGame"
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World "Contradiction"
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Level 6
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Title "Contradiction"
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Introduction
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"
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In diesem Kapitel hast du also folgende Taktiken kennengelernt:
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| | Taktik | Beispiel |
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|:------|:----------------|:-------------------------------------------------------|
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| 16 | `have` | Zwischenresultat annehmen. |
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| 17 | `suffices` | Zwischenresultat annehmen. |
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| 18 | `by_contra` | Widerspruch. (startet einen Widerspruch) |
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| *3* | `contradiction` | *(Schliesst einen Widerspruchsbeweis)* |
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| 19 | `contrapose` | Contraposition. |
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| *9* | `revert` | Nützlich um danach `contrapose` anzuwenden. |
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Als Vergleich zwischen Beweisen \"per Widerspruch\"
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und \"per Kontraposition\", beweise die Gleiche Aufgabe indem
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du mit `by_contra` einen Widerspruch suchst.
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"
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Statement
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"Ist n² ungerade, so ist auch n ungerade. Beweise durch Widerspruch."
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(n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) : Odd n := by
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by_contra g
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suffices d : ¬ Odd (n ^ 2)
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contradiction
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rw [not_odd] at *
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apply even_square
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assumption
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HiddenHint (n : ℕ) (h : Odd (n^2)) : Odd n =>
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"Schreibe `by_contra h₁` um einen Beweis durch Widerspruch zu starten."
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Hint (n : ℕ) (g : ¬ Odd n) (h : Odd (n^2)) : False =>
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"
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Am sinnvollsten ist es, hier einen Widerspruch zu `Odd (n^2)` zu suchen.
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Dafür kannst du
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```
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suffices k : ¬ Odd (n ^ 2)
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contradiction
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```
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benützen.
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"
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HiddenHint (n : ℕ) (g : ¬ Odd (n^2)) (h : Odd (n^2)) : False =>
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"Hier brauchst du nur `contradiction`."
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Hint (n : ℕ) (g : ¬ Odd n) (h : Odd (n^2)) : ¬ Odd (n^2) =>
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"Das Zwischenresultat `¬Odd (n^2)` muss auch bewiesen werden.
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Hier ist wieder das Lemma `not_Odd` hilfreich."
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HiddenHint (n : ℕ) (g : ¬ Odd n) (h : Odd (n^2)) : Even (n^2) =>
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"Mit `rw [not_Odd] at *` kannst du im Goal und allen Annahmen gleichzeitig umschreiben."
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Hint (n: ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) (g : Even n) : Even (n ^ 2) =>
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"Diese Aussage hast du bereits als Lemma bewiesen."
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HiddenHint (n: ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) (g : Even n) : Even (n ^ 2) =>
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"Probiers mit `apply ...`"
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NewTactic contradiction by_contra rw apply assumption -- TODO: suffices, have
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NewDefinition Even Odd
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NewLemma not_odd not_even even_square
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