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import Adam.Metadata
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import Mathlib
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Game "Adam"
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World "Inequality"
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Level 1
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Title "Induktion"
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set_option tactic.hygienic false
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Introduction
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"
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Hier lernst du Induktion und Ungleichungen kennen. Beides essenziele Grundlagen, die du
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für spätere Aufgaben brauchst.
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Die Leantaktik `induction n` führt einen Induktionsbeweis über `(n : ℕ)`. Hier zuerst
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ein abstraktes Beispiel.
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"
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Statement
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"Sei $P(n)$ eine logische Aussage über die natürliche Zahl.
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Agenommen $P(0)$ ist wahr und $P(m) \\Rightarrow P(m+1)$ für alle $m$,
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dann gilt $P(n)$ für alle $n \\in \\mathbb{N}.$"
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(n : ℕ) (P : ℕ → Prop) (h_base : P 0) (h_step : ∀ m, P m → P m.succ) : P n := by
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induction n
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assumption
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apply h_step
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assumption
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Hint (P : ℕ → Prop) : P Nat.zero =>
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"Das ist die Induktionsverankerung, hier musst du $P(0)$ zeigen."
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Hint (P : ℕ → Prop) (m : ℕ) (hi : P m) : P (Nat.succ m) =>
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"An der Stelle kommt der Beweis $P(m) \\Rightarrow P(m+1)$.
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In diesem Beispiel kannst du `apply` benützen."
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NewTactic induction
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