|
|
|
|
|
import TestGame.Metadata
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
import Mathlib.Data.Real.Basic -- definiert `ℝ`
|
|
|
|
|
|
import Mathlib.Algebra.Module.Pi -- definiert `Module ℚ (fin 2 → ℚ)`
|
|
|
|
|
|
import Mathlib.Data.Fin.VecNotation
|
|
|
|
|
|
import Mathlib.Tactic.FinCases
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
set_option tactic.hygienic false
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Game "TestGame"
|
|
|
|
|
|
World "Module"
|
|
|
|
|
|
Level 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Title "Konkrete Vektorräume"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Introduction
|
|
|
|
|
|
"
|
|
|
|
|
|
Häufig in der linearen Algebra hat man ganz einfach Vektoren über `ℚ` oder `ℝ`
|
|
|
|
|
|
und möchte diese explizit definieren.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Reele Vektorräume definiert man in Lean am besten als Funktion von einem Indexset.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
So ist `Fin 2` eine Menge, die nur `0` und `1` enthält
|
|
|
|
|
|
und `ℚ²` wird als `Fin 2 → ℚ` definiert. Hier machen wir uns eine
|
|
|
|
|
|
lokale notation dafür:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
notation `ℚ²` := Fin 2 → ℚ
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Das mag auf den ersten Blick etwas unintuitiv erscheinen, hat aber den Vorteil,
|
|
|
|
|
|
dass man die ganze
|
|
|
|
|
|
Infrastruktur für Funktionen einfach direkt für Vektoren und
|
|
|
|
|
|
Matrizen mitgebrauchen kann.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wir können uns auch noch ein paar andere standardmässige `ℚ`-Vektorräume definieren.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
notation \"ℚ³\" => Fin 3 → ℚ
|
|
|
|
|
|
notation \"ℚ^(\" n \")\" => (Fin n) → ℚ
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Die schreibweise für einen Vektor ist `![ _, _ ]`. Zu beachten ist,
|
|
|
|
|
|
dass man bei Zahlen explizit einen Typ angeben muss, sonst denkt sich
|
|
|
|
|
|
Lean, man arbeite über `ℕ`.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um direkt Vektoroperationen über `ℚ` auszurechnen, kann man oft
|
|
|
|
|
|
`#eval` benützen:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
#eval ![ (2 : ℚ), 5 ] + ![ 1/2, -7 ]
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
zeigt `![5/2, -2]` an.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um eine Gleichheit in einem Beweis zu verwenden, muss man andere Taktiken
|
|
|
|
|
|
benützen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am hilfreichsten ist die kombination `funext i, fin_cases i`, die
|
|
|
|
|
|
Dann eine Vektorgleichung komponentenweise aufteilt.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Für jede Komponente kann man dann mit `simp` und `ring` weiterkommen.
|
|
|
|
|
|
"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
notation "ℚ³" => Fin 3 → ℚ
|
|
|
|
|
|
notation "ℚ^(" n ")" => (Fin n) → ℚ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Statement
|
|
|
|
|
|
""
|
|
|
|
|
|
: ![ (2 : ℚ), 5 ] + ![ 1/2, -7 ] = ![5/2, -2] := by
|
|
|
|
|
|
funext i
|
|
|
|
|
|
fin_cases i <;>
|
|
|
|
|
|
simp <;>
|
|
|
|
|
|
ring
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NewTactics fin_cases funext
|
