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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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import Mathlib.Tactic.Contrapose
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import Mathlib.Tactic.Use
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import Mathlib.Tactic.Ring
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import TestGame.ToBePorted
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Game "TestGame"
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World "Contradiction"
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Level 5
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Title "Kontraposition"
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Introduction
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"
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Ein Beweis durch Kontraposition benützt im Grunde das eben bewiesene Lemma
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```
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lemma not_imp_not (A B : Prop) : (A → B) ↔ (¬ B → ¬ A) := by
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[...]
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```
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Dazu gibt es die Taktik `contrapose`, welche eine Implikation im Goal
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entsprechend umdreht.
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Wir erinnern hier an die Taktik `revert h`, die aus der Annahme `h` eine Implikation
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im Goal erstellt.
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Im Gegensatz dazu kann man auch einen Beweis durch Kontraposition führen.
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Das ist kein Widerspruch, sondern benützt dass `A → B` und `(¬ B) → (¬ A)`
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logisch equivalent sind.
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Wenn das Goal eine Implikation ist, kann man `contrapose` anwenden.
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"
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Statement
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"Ist n² ungerade, so ist auch n ungerade. Beweise durch Kontraposition."
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(n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)): Odd n := by
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revert h
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contrapose
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rw [not_odd]
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rw [not_odd]
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apply even_square
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Hint (n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) : Odd n =>
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"Um `contrapose` anzuwenden, brauchen wir eine Implikation `Odd (n ^ 2) → Odd n` im
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Goal. Benutze `revert h`!"
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Message (n : ℕ) : Odd (n ^ 2) → Odd n =>
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"Mit `contrapose` kann man die Implikation zu
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`¬ (Not n) → ¬ (Odd n^2)` umkehren."
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Message (n : ℕ) : ¬Odd n → ¬Odd (n ^ 2) => "Erinnere dich an das Lemma `not_odd`."
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Hint (n : ℕ) : ¬Odd n → ¬Odd (n ^ 2) => "Dieses kann mit `rw` gebraucht werden."
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Message (n : ℕ) : Even n → ¬Odd (n ^ 2) =>
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"rw [not_odd] muss hier zweimal angewendet werden."
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Message (n : ℕ) : Even n → Even (n ^ 2) =>
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"Diese Aussage hast du bereits als Lemma bewiesen, schau mal in der Bibliothek."
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Tactics contrapose rw apply
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Lemmas Even Odd not_even not_odd even_square
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