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import TestGame.Metadata
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import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "Function"
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Level 1
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Title ""
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Introduction
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Funktionen werden in Lean mit `ℕ → ℕ` geschrieben (`\\to`), also dem gleichen
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Pfeil wie Implikationen.
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Eine abstrakte Funktion ist ein entsprechendes Element `(f : ℕ → ℕ)` oder `(g : ℕ → ℝ)`.
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Dies sagt aber gar nichts darüber, wie `f` tatsächlich definiert ist.
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Hat man eine Funktion `(f : A → B)` und ein Element `(x : A)` dann ist `f x` der
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Bildpunkt in `B`. In Lean braucht man also keine Klammern um $f(x)$ zu schreiben.
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Eplizite, anonyme Funktionen kann man mit dem Syntax `fun (n : ℕ) ↦ n ^ 2` definieren
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(entweder `↦` (`\\map`) oder `=>` als Pfeil in der Mitte).
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Statement
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"Zeige, dass es eine Funktion $\\mathbb{N} \\to \\mathbb{Z}$ gibt, für die $f(x) < x$ gilt."
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: ∃ f : ℕ → ℤ, ∀ x, f x < x := by
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use (fun x ↦ x - 1)
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simp
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Hint : ∃ f : ℕ → ℤ, ∀ x, f x < x =>
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Benütze eine anonyme Funktion `use (fun n ↦ _)` wobei `_` durch einen Ausdruck ersetzt
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werden muss, so dass die Aussage erfüllt wird.
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