levels

server/testgame/TestGame/Levels/Function/L03_Composition.lean

@@ -16,5 +16,7 @@ TODO
 
 Statement
 "TODO: Find an exercise."
-    (U S T V : Type _) (f : U → V) (g : V → T) (x : U) : (g ∘ f) x = g (f x)  := by
+    (U T V : Type _) (f : U → V) (g : V → T) (x : U) : (g ∘ f) x = g (f x)  := by
   simp only [Function.comp_apply]
+
+NewLemmas Function.comp_apply

server/testgame/TestGame/Levels/Function/L06_Piecewise.lean

@@ -9,19 +9,168 @@ Title ""
 
 Introduction
 "
+Du kommst an eine Tür mit zwei Wächtern. Der eine hat ein Schild
+
+```
+def f : ℚ → ℚ := fun x ↦ 5 * x
+```
+
+der andere eines mit
+
+```
+def g : ℚ → ℚ := fun x ↦ if 0 ≤ x then 2*x else 0
+```
+
+Auf der Tür steht groß:
 "
 
+example (P : Prop) [Decidable P] (a b : ℕ) (h : P) : ite P a b = a := if_pos h
+
 open Set
 
-def f2 : ℕ → ℕ := fun n ↦ if Even n then n^2 else n+1
+namespace LevelFunction4
 
-#eval (f2 + f2) 2
+def f : ℚ → ℚ := fun x ↦ 5 * x
+def g : ℚ → ℚ := fun x ↦ if 0 ≤ x then 2*x else 0
 
-#check range f2
 
-Statement
-""
-    : True := by
-  trivial
+-- #eval (f2 + f2) 2
 
+-- #check range f2
+
+Statement ""
+    : f ∘ g = g ∘ f := by
+  funext x
+  simp_rw [Function.comp_apply]
+  unfold g
+  by_cases 0 ≤ x
+  have h' : 0 ≤ f x
+  unfold f
+  linarith
+  rw [if_pos h', if_pos h]
+  unfold f
+  ring
+  have h' : ¬ (0 ≤ f x)
+  unfold f
+  linarith
+  rw [if_neg h, if_neg h']
+  unfold f
+  ring
+
+NewTactics funext by_cases simp_rw linarith
+
+NewLemmas not_le if_pos if_neg
+
+
+Hint : f ∘ g = g ∘ f =>
+"
+**Robo**: Schau mal, die beiden haben zwei Funktionen, eine davon mit stückweiser Definition.
+
+**Du**: Und ich soll zeigen, dass die beiden vertauschbar sind?
+
+**Robo**: Genau, am besten wählst du mit `funext x` ein beliebiges Element aus, und zeigst das
+dann für dieses.
+"
+
+-- TODO: These 5 hints should be mutually exclusive. i.e. they should not trigger
+-- if a assumption is missing.
+Hint (x : ℚ) : (f ∘ g) x = (g ∘ f) x =>
+"
+**Du**: Ah und jetzt kann ich erst einmal `(g ∘ f) {x}` zu `g (f {x})` umschreiben?
+
+**Robo**: Mit `simp_rw` geht das übrigens schneller.
+
+**Robo**: Und danach willst du eien Fallunterscheidung
+machen, `by_cases h : 0 ≤ {x}`.
+
+**Du**: Damit krieg ich die Fälle `0 ≤ {x}` und `{x} < 0`?
+
+**Robo**: Genau! Oder präziser `0 ≤ {x}` und `¬(0 ≤ {x})`. Das ist nicht ganz das gleiche, und man
+könnte mit dem Lemma `not_le` zwischen `¬(0 ≤ {x})` und `0 < {x}` wechseln.
+"
+
+Hint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) : f (g x) = g (f x) =>
+"
+**Robo**: Um das ausrechnen zu können, brauchst du nicht nur `0 ≤ x` sondern auch noch
+eine Annahme `0 ≤ f x`.
+"
+
+Hint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) (h₂ : 0 ≤ f x) : f (g x) = g (f x) =>
+"
+**Du**: Mit den beiden Annahmen habe ich ja jetzt `(if 0 ≤ x then _)` wobei `0 ≤ x` wahr ist,
+kann ich das dann einfach vereinfachen?
+
+**Robo**: Dafür must du zuerst die Definition von `g` öffnen, also `unfold`. Und dann mit
+dem Lemma `if_pos {h}` das umschreiben.
+"
+
+Hint (x : ℚ) (h : ¬ 0 ≤ x) : f (g x) = g (f x) =>
+"
+**Du**: Ich sehe, das ist jetzt der zweite Fall, da brauch ich sicher wieder eine zweite Annahme
+`¬(0 ≤ f x)`…
+"
+
+Hint (x : ℚ) (h : ¬ 0 ≤ x) (h₂ : ¬ 0 ≤ f x) : f (g x) = g (f x) =>
+"
+**Robo**: Jetzt ist der Zeitpunkt wo die Definition von `g` geöffnet sein sollte.
+
+**Robo**: Wenn man ein If-Statement mit wahrer Prämisse mit `if_pos` vereinfacht, dann
+braucht man für eine falsche Prämisse…
+
+**Du**: `if_neg`?
+"
+-- END TODO
+HiddenHint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) (h₂ : 0 ≤ f x) : f (2 * x) = g (f x) =>
+"
+**Robo**: Jetzt das Gleiche noch mit `if_pos {h₂}`.
+"
+
+HiddenHint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) (h₂ : 0 ≤ f x) : f (g x) = 2 * f x =>
+"
+**Robo**: Jetzt das Gleiche noch mit `if_pos {h}`.
+"
+
+Hint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) (h₂ : 0 ≤ f x) : f (2 * x) = 2 * f x =>
+"
+**Robo**: Wenn du jetzt noch die Definition von `f` öffnest, dann kann `ring` den
+Rest ausrechnen.
+"
+
+
+-- TODO: This are also showing in the case of the Hint below
+-- Proof of `0 ≤ f x`.
+Hint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) : 0 ≤ f x =>
+" **Robo**: Wenn du die Definition von `f` öffnest, dann hast du schon das wissen,
+um das zu beweisen."
+HiddenHint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) : 0 ≤ f x =>
+"**Du** *(in Gedanken)*: Was war das nochmals... Ungleichungen... `linarith`!"
+
+HiddenHint (x : ℚ) (h : ¬0 ≤ x) : ¬ 0 ≤ f x =>
+" **Robo**: Das ist das selbe wie vorhin…"
+
+
+-- Hint for modifying `h` wrongly.
+Hint (x : ℚ) (h : x < 0) : f (g x) = g (f x) =>
+"
+**Robo**: Das war nicht so ideal, hier brauchst du die Annahme in der Form `({h} : ¬ 0 ≤ {x})`!
+"
+
+-- TODO: In this case we get to see the Hints above
+Hint (x : ℚ) (h : 0 ≤ x) : 0 ≤ x =>
+"**Robo**: Dieses Goal ist entstanden, als du `rw [if_pos]` anstatt `rw [if_pos {h}]`
+geschrieben hast."
+
+Hint (x : ℚ) (h : 0 ≤ f x) : 0 ≤ f x =>
+"**Robo**: Dieses Goal ist entstanden, als du `rw [if_pos]` anstatt `rw [if_pos {h}]`
+geschrieben hast."
+
+Hint (x : ℚ) (h : ¬ 0 ≤ x) : ¬ 0 ≤ x =>
+"**Robo**: Dieses Goal ist entstanden, als du `rw [if_neg]` anstatt `rw [if_neg {h}]`
+geschrieben hast."
+
+Hint (x : ℚ) (h : ¬ 0 ≤ f x) : ¬ 0 ≤ f x =>
+"**Robo**: Dieses Goal ist entstanden, als du `rw [if_neg]` anstatt `rw [if_neg {h}]`
+geschrieben hast."
 #check Set.piecewise
+
+end LevelFunction4