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tactic documentation

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528
server/testgame/TestGame/TacticDocs.lean
Unescape Escape View File

@ -1,300 +1,524 @@
import GameServer.Commands
import TestGame.Tactics
TacticDoc rfl
TacticDoc assumption
"
## Beschreibung
`assumption` sucht nach einer Annahme, die genau dem Goal entspricht.
`rfl` beweist ein Goal der Form `X = X`.
## Beispiel
## Detail
`assumption` sucht durch die Annahmen und merkt dass `h` genau mit dem Goal übereinstimmt.
```
Objekte
a b c d : ℕ
h : a + b = c
g : a * b = 16
t : c = 12
Goal
a + b = c
```
"
TacticDoc apply
"
`apply my_lemma` Versucht das Goal mit der Aussage des Lemmas zu unifizieren
und erstellt ein neues Goal pro Annahme des Lemmas, die noch zu zeigen ist.
`rfl` beweist jedes Goal `A = B` wenn `A` und `B` genau das gleiche sind.
Wichtig ist nicht, ob diese im Infoview gleich aussehen, sondern ob sie in
Lean gleich definiert sind.
## Details
`apply` funktioniert gleichermassen für Lemmas wie für Implikationen
wie z.B. `(h : A → B)`.
## Beispiel
`rfl` kann folgenes Goal beweisen:
Gegeben folgendes Lemma:
```
Objects
a b c : ℕ
Prove:
(a + b) * c = (a + b) * c
lemma Nat.eq_zero_of_le_zero {n : ℕ} (h : n ≤ 0) : n = 0 := by sorry
```
`rfl` kann auch folgendes beweisen:
Und folgendes Problem:
```
Objects
Objekte
n : ℕ
Prove:
1 + 1 = 2
...
Goal
n = 0
```
denn Lean liest dies intern als `0.succ.succ = 0.succ.succ`.
Hier ändert `apply Nat.eq_zero_of_le_zero` das Goal zu `n ≤ 0` durch Anwendung
des Lemmas.
"
TacticDoc assumption
TacticDoc by_cases
"
## Beschreibung
`by_cases h : P` macht eine Fallunterscheidung. Im ersten Goal wird eine Annahme
`(h : P)` hinzugefügt, im zweiten `(h : ¬P)`.
`assumption` sucht nach einer Annahme, die genau dem Goal entspricht.
## Details
`P` kann eine beliegige Aussage sein, die als entweder wahr oder falsch angenommen wird.
## Beispiel
Wenn das Goal wie folgt aussieht:
```
Objects
a b c d : ℕ
h : a + b = c
g : a * b = 16
t : c = 12
Prove:
a + b = c
example (A : Prop) : A ∨ ¬ A := by
by_cases h : A
· left
assumption
· right
assumption
```
"
dann findet `assumption` die Annahme `h`und schliesst den Beweis.
TacticDoc by_contra
"
`by_contra h` startet einen Widerspruchsbeweis.
## Details
Sei `P` das aktuelle Goal. `by_contra h` fügt eine neue Annahme `(h : ¬P)` hinzu
und setzt das Goal auf `False`.
TacticDoc rewrite
Oft will man `by_contra` nutzen wenn das Goal von der Form `¬ P` ist.
## Hilfreiche Resultate
* `contradiction` schliesst den Widerspruchsbeweis wenn sich (zwei) Annahmen
widersprechen.
* `contrapose` führt einen Beweis durch Kontraposition und ist entsprechend
in ähnlichen Situationen nutzbar wie `by_contra`
"
## Beschreibung
Wie `rw` aber ruft `rfl` am Schluss nicht automatisch auf.
TacticDoc constructor
"
`constructor` teilt ein Goal auf, wenn das Goal eine Struktur ist
TacticDoc induction
## Detail
Wenn das Goal eine Struktur ist, wie z.B. `A ∧ B` welches zwei Felder hat `⟨A, B⟩`, dann
erzeugt `constructor` ein Goal pro Feld der Struktur.
## Hilfreiche Resultate
* Das Gegenteil von `constructor` ist `⟨_, _⟩` (`\\<>`), der *anonyme Konstructor*.
Dieser enspricht ungefähr der Tupel-Notation in
\"eine Gruppe ist ein Tupel $(G, 0, +)$, sodass …\".
## Beispiel
```
example {A B : Prop} (h : A) (g : B) : A ∧ B := by
constructor
· assumption
· assumption
```
"
## Beschreibung
Wie `rw` aber ruft `rfl` am Schluss nicht automatisch auf.
TacticDoc contradiction
"
`contradiction` schliesst den Beweis wenn es einen Widerspruch in den Annahmen findet.
## Details
Ein Widerspruch in den Annahmen kann unter anderem folgendermassen aussehen:
TacticDoc linarith
* `(h : n ≠ n)`
* `(h : A)` und `(h' : ¬A)`
* `(h : False)` (i.e. ein Beweis von `False`)
## Beispiel
Folgenes Goal wird von `contradiction` bewiesen
## Hilfreiche Resultate
* Normalerweise wird `contradiction` gebraucht um einen Widerspruchsbeweis zu
schliessen, der mit `by_contra` eröffnet wurde.
* Ein Beweis von `False` representiert in Lean einen Widerspruch.
```
Objekte:
(n m : ℕ)
(h : n = m)
(g : n ≠ m)
Goal
37 = 60
```
nach dem Motto \"ein Widerspruch beweist alles.\"
"
## Beschreibung
TacticDoc contrapose
"
`contrapose` ändert ein Goal der Form `A → B` zu `¬B → ¬A` und führt damit
eine Beweis durch Kontraposition.
## Hilfreiche Resultate
* `revert h` kann nützlich sein um eine Annahme als Implikationsprämisse zu schreiben bevor man
`contrapose` verwendet.
"
TacticDoc fin_cases
"
## Beschreibung
`fin_cases i` führt eine Fallunterscheidung wenn `i` ein endlicher Typ ist.
## Details
`fin_cases i` ist insbesondere nützlich für `(i : Fin n)`, zum Beispiel als Index in
endlich dimensionalen Vektorräumen.
In diesem Fall bewirkt `fin_cases i` dass man Komponentenweise arbeitet.
"
TacticDoc funext
"
## Beschreibung
`funext x` wird bei Gleichungen von Funktionen `f = g` gebraucht. Das Goal wird zu
`f x = g x`.
## Details
Nach dem Motto `f = g ↔ ∀ x, f x = g x` sind zwei Funktionen dann identisch, wenn sie
angewendet auf jedes Element identisch sind. `funext x` benützt dieses Argument.
"
TacticDoc «have»
"
`have h : P` führt ein Zwischenresultat ein.
## Details
Anschliessend muss man zuerst dieses Zwischenresultat beweisen bevor man mit dem Beweis
weitermachen und das Zwischenresultat verwenden kann.
TacticDoc rw
## Hilfreiche Resultate
* `suffices h : P` funktioniert genau gleich, aussert das die beiden entstehenden Beweise
vertauscht sind.
* `let h : Prop := A ∧ B` ist verwandt mit `have`, mit Unterschied, dass man mit `let`
eine temporäre Definition einführt.
"
## Beschreibung
Wenn man eine Annahme `(h : X = Y)` hat, kann man mit
`rw [h]` alle `X` im Goal durch `Y` ersetzen.
TacticDoc induction
"
`induction n` führt einen Induktionsbeweis über `n`.
## Detail
- `rw [←h]` wendet `h` rückwärts an und ersetzt alle `Y` durch `X`.
- `rw [h, g, ←f]`: Man kann auch mehrere `rw` zusammenfassen.
- `rw [h] at h₂` ersetzt alle `X` in `h₂` zu `Y` (anstatt im Goal).
`rw` funktioniert gleichermassen mit Annahmen `(h : X = Y)` also auch
mit Theoremen/Lemmas der Form `X = Y`
Diese Taktik erstellt zwei Goals:
* Induktionsanfang, wo `n = 0` ersetzt wird.
* Induktionsschritt, in dem man die Induktionshypothese `n_ih` zur Verfügung hat.
Der volle Syntax mit Option zum umbenennen der Induktionshypothes und -variable ist
```
induction n with
| zero =>
sorry
| succ m m_ih =>
sorry
```
da dieser sich über mehrere Zeilen erstreckt wird er im Spiel nicht eingeführt.
## Hifreiche Resultate
* `Nat.succ_eq_add_one`: schreibt `n.succ = n + 1` um.
* `Nat.zero_eq`: schreibt `Nat.zero = 0` um.
Beide sind DefEq, aber manche Taktiken können nicht damit umgehen
* Siehe Definition `∑` für Hilfe mit Induktion über Summen.
* `rcases n` ist sehr ähnlich zu `induction n`. Der Unterschied ist, dass bei
`rcases` keine Induktionshypothese im Fall `n + 1` zur Verfügung steht.
## Beispiel
TODO
```
example (n : ℕ) : 4 ∣ 5^n + 7 := by
induction n
sorry -- Fall `n = 0`
sorry -- Fall `n + 1`
```
"
TacticDoc simp_rw
TacticDoc intro
"
## Beschreibung
`intro x` wird für Goals der Form `A → B` oder `∀ x, P x` verwendet.
Dadurch wird die Implikationsprämisse (oder das Objekt `x`) den Annahmen hinzugefügt.
TODO
## Hilfreiche Resultate
* `revert h` macht das Gegenteil von `intro`.
"
TacticDoc by_cases
TacticDoc left
"
## Beschreibung
Wenn das Goal von der Form `A ∨ B` ist, enscheidet man mit `left` die linke Seite zu zeigen.
TODO
## Hilfreiche Resultate
* `right` entscheidet sich für die linke Seite.
"
TacticDoc apply
TacticDoc «let»
"
## Beschreibung
`let x : ℕ := 5 ^ 2` führt eine neue temporäre Definition ein.
TODO
## Hilfreiche Resultate
* `have x : ℕ := 5 ^ 2` führt ebenfalls eine neue natürliche Zahle `x` ein, aber
Lean vergisst sofort, wie die Zahl definiert war. D.h. `x = 25` wäre dann nicht
beweisbar. Mit `let x : ℕ := 5 ^ 2` ist `x = 25` durch `rfl` beweisbar.
"
TacticDoc constructor
TacticDoc linarith
"
## Beschreibung
`linarith` löst Systeme linearer (Un-)Gleichungen.
TODO
## Detail
`linarith` kann lineare Gleichungen und Ungleichungen beweisen indem
es das Gegenteil vom Goal annimmt und versucht einen Widerspruch in den
Annahmen zu erzeugen (Widerspruchsbeweis). Es braucht ein `≤` definiert um
zu funktionieren.
## Beispiel
Folgendes kann `linarith` beweisen.
```
Objekte
x y : ℤ
h₁ : 5 * y ≤ 35 - 2 * x
h₂ : 2 * y ≤ x + 3
Goal
y ≤ 5
```
"
TacticDoc tauto
TacticDoc push_neg
"
## Beschreibung
`push_neg` schreibt `¬∀ x, _` zu `∃ x, ¬ _` und `¬∃ x, _` zu `∀x, ¬ _` um.
TODO
## Details
`psuh_neg` schiebt das `¬` soweit nach innen wie möglich.
## Hilfreiche Resultate
* Die beiden Lemmas heissen `not_forall` und `not_exists` und können mit `rw` einzeln angewendet
werden.
"
TacticDoc rcases
"
## Beschreibung
`rcases h` teilt eine Annahme `h` in ihre Einzelteile auf.
TODO
"
## Details
Für Annahmen die Strukturen sind, wie z.B. `h : A ∧ B` (oder `∃x, P x`) kann man die
Einzelteile mit `rcases h with ⟨a, b⟩` (oder `rcases h with ⟨x, hx⟩`) benennen.
TacticDoc left
"
## Beschreibung
Für eine Annahme der Form `h : A ∨ B` kann man mit `rcases h with ha | hb` zwei Goals
erzeugen, einmal unter Annahme der linken Seite, einmal unter Annahme der Rechten.
TODO
"
## Hilfreiche Resultate
TacticDoc right
* Für `n : ℕ` hat `rcases n` einen ähnlichen Effekt wie `induction n` mit dem Unterschied,
dass im Fall `n + 1` keine Induktionshypothese zur Verfügung steht.
* In Lean gibt es auch die Taktik `cases`, die gleich funktioniert wie `rcases` aber
einen mehrzeiligen Syntax hat:
```
cases h with
| inl ha =>
sorry
| inr hb =>
sorry
```
Hier sind `inl`/`inr` die Namen der Fälle und `ha`/`hb` sind frei gewählte Namen für die
freien Variablen
"
## Beschreibung
TODO
TacticDoc revert
"
`revert h` fügt die Annahme `h` als Implikationsprämisse vorne ans Goal an.
TacticDoc simp
"
## Beschreibung
## Hilfreiche Resultate
TODO
"
* `revert` ist das Gegenteil von `intro`.
* `revert` kann insbesondere nützlich sein, um anschliessend `contrapose` zu verwenden.
TacticDoc trivial
"
## Beschreibung
## Beispiel
TODO
"
```
Objekte
A P : Prop
h : P
Goal
A
```
TacticDoc contradiction
"
## Beschreibung
hier ändert `revert h` den Status zu
TODO
```
Objekte
A P : Prop
Goal
P → A
```
"
TacticDoc push_neg
TacticDoc rfl
"
## Beschreibung
`rfl` beweist ein Goal der Form `X = X`.
TODO
"
## Detail
`rfl` beweist jedes Goal `A = B` wenn `A` und `B` per Definition das gleiche sind (DefEq).
Andere Taktiken rufen `rfl` oft am Ende versteckt
automatisch auf um zu versuchen, den Beweis zu schliessen.
TacticDoc contrapose
## Beispiel
`rfl` kann folgende Goals beweisen:
```
Objekte
a b c : ℕ
Goal:
(a + b) * c = (a + b) * c
```
```
Objekte
n : ℕ
Goal
1 + 1 = 2
```
denn Lean liest dies intern als `0.succ.succ = 0.succ.succ`.
"
## Beschreibung
TODO
TacticDoc right
"
Wenn das Goal von der Form `A ∨ B` ist, enscheidet man mit `right` die rechte Seite zu zeigen.
TacticDoc revert
## Hilfreiche Resultate
* `left` entscheidet sich für die linke Seite.
"
## Beschreibung
TODO
TacticDoc ring
"
Löst Gleichungen mit den Operationen `+, -, *, ^`.
## Details
Insbesondere funktioniert `ring` in Ringen/Semiringen wie z.B. `ℕ, ℤ, ℚ, …`
(i.e. Typen `R` mit Instanzen `Ring R` oder `Semiring R`).
Die Taktik ist besonders auf kommutative Ringe (`CommRing R`) ausgelegt.
TacticDoc by_contra
"
## Beschreibung
## Hilfreiche Resultate
TODO
* `ring` kann nicht wirklich mit Division (`/`) oder Inversen (`⁻¹`) umgehen. Dafür ist die
Taktik `field_simp` gedacht, und die typische Sequenz ist
```
field_simp
ring
```
* Wenn `ring` nicht abschliesst, sagt es man solle `ring_nf` verwenden. Normalerweise heisst
das aber, dass man was falsch gemacht hat und die Seiten der Gleichung noch nicht gleich sind.
"
TacticDoc ring
TacticDoc rw
"
## Beschreibung
Wenn man eine Annahme `(h : X = Y)` hat, kann man mit
`rw [h]` alle `X` im Goal durch `Y` ersetzen.
TODO
## Details
* `rw [←h]` wendet `h` rückwärts an und ersetzt alle `Y` durch `X`.
* `rw [h, g, ←f]`: Man kann auch mehrere `rw` zusammenfassen.
* `rw [h] at h₂` ersetzt alle `X` in `h₂` zu `Y` (anstatt im Goal).
`rw` funktioniert gleichermassen mit Annahmen `(h : X = Y)` also auch
mit Theoremen/Lemmas der Form `X = Y`
"
TacticDoc unfold
TacticDoc simp
"
## Beschreibung
`simp` versucht alle Vereinfachungslemmas anzuwenden, die in der `mathlib` mit `@[simp]`
gekennzeichnet sind.
TODO
## Details
* `simp?` zeigt welche Lemmas verwendet wurden.
* `simp [my_lemma]` fügt zudem `my_lemma` temporär zur Menge der `simp`-Lemmas hinzu.
* ein `simp`, das nicht am Ende des Beweis steht sollte durch eine entsprechende
`simp only [...]` Aussage ersetzt werden, um den Beweis stabiler zu machen.
"
TacticDoc use
TacticDoc simp_rw
"
## Beschreibung
`simp_rw [h₁, h₂, h₃]` versucht wie `rw` jedes Lemma der Reihe nach zu Umschreiben zu verwenden,
verwendet aber jedes Lemma so oft es kann.
TODO
## Details
Es bestehen aber drei grosse Unterschiede zu `rw`:
* `simp_rw` wendet jedes Lemma so oft an wie es nur kann.
* `simp_rw` kann besser unter Quantifiern umschreiben als `rw`.
* `simp_rw` führt nach jedem Schritt ein `simp only []` aus und vereinfacht dadurch grundlegenste
Sachen.
"
TacticDoc «suffices»
"
## Beschreibung
`suffices h : P` führt ein neues Zwischenresultat ein, aus dem das Goal direkt folgen soll.
TODO
"
## Details
TacticDoc «have»
"
## Beschreibung
Der einzige Unterschied zu `have h : P` ist, dass die beiden resultierenden Goals vertauscht sind.
TODO
Mathematisch braucht man diese in ein bisschen unterschiedlichen Fällen:
* `suffices h : P` : \"Es genügt zu zeigen, dass …\". Als erstes folgt die Erklärung wieso
das genügt, danach muss man nur noch `P` beweisen.
* `have h : P` : Ein (kleines) Zwischenresultat. Als erstes folgt dann der Beweis dieses
Resultats, anschliessend setzt man den Beweis mit Hilfe des Zwischenresultats fort.
"
TacticDoc «let»
TacticDoc tauto
"
## Beschreibung
TODO
"
TacticDoc induction_on
TacticDoc trivial
"
## Summary
`trivial` versucht durch Kombination von wenigen simplen Taktiken das Goal zu schliessen.
If `n : ℕ` is in our objects list, then `induction_on n`
attempts to prove the current goal by induction on `n`, with the inductive
assumption in the `succ` case being `ind_hyp`.
## Details
Die Taktiken, die verwendet werden sind:
### Example:
If your current goal is:
```
Objects
n : ℕ
Prove:
2 * n = n + n
```
* `assumption`
* `rfl`
* `contradiction`
* und noch 3 andere, die hier nicht behandelt werden
(`decide`, `apply True.intro`, `apply And.intro`).
"
then
TacticDoc unfold
"
`unfold myDef` öffnet eine Definition im Goal.
`induction_on n`
## Details
Bis auf DefEq (definitinal equality) ändert `unfold` nichts, manche Taktiken
(z.B. `push_neg`, `rw`) brauchen aber manchmal die Hilfe.
will give us two goals:
`unfold myDef at h` kann auch Definitionen in Annahmen öffnen
```
Prove:
2 * 0 = 0 + 0
```
## Hilfreiche Resultate
and
```
Objects
n : ℕ,
Assumptions
ind_hyp : 2 * n = n + n
Prove:
2 * succ n = succ n + succ n
```
* `change P` ist eine andere Taktik, die das aktuelle Goal in einen DefEq-Ausdruck umschreibt.
Diese Taktik braucht man auch manchmal um zu hacken, wenn Lean Mühe hat etwas zu verstehen.
"
TacticDoc intro
"Useful to introduce stuff"
TacticDoc use
"
Wenn das Goal von der Form `∃x, P x` ist, kann man mit `use n` ein konkretes Element angeben
mit dem man das Goal beweisen möchte.
"

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