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@ -17,109 +17,76 @@ Title "Zusammenfassung"
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Introduction
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"
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Zusammenfassung aus diesem Kapitel
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**Du**: Robo gib mir nochmals eine Übersicht, bitte.
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## Notationen / Begriffe
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**Robo**: Aber klar:
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| | Beschreibung |
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|:---------------------|:------------------------------------------|
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| `Fin n` | Ist ein Typ mit Zahlen $0, \\ldots, n-1$. |
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| `∑ (i : Fin n), a i` | $\\sum_{i=0}^{n-1} a_i$ |
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| `↑i` | Eine Coersion, z.B. `Fin n → ℕ`. |
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## Taktiken
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und
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| | Taktik | Beispiel |
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|:---|:--------------------------|:-------------------------------------|
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| 20 | `simp` | Simplifikation. |
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| 21 | `induction n` | Induktion über $n$ |
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| 21 | `simp` | Simplifikation. |
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| 22 | `induction n` | Induktion über $n$ |
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Und hier noch eine etwas schwierigere Übung.
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Das Resultat aus Level 3 kannst du als `arithmetic_sum` wiederverwenden:
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$$
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2 \\cdot \\sum_{i = 0}^n i = n \\cdot (n + 1)
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$$
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Da löst sich aus der Steinlandschaft plötzlich ein grosser Steingolem. Er schaut euch
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bedrohlich an und fragt in tiefer Stimme:
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"
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open BigOperators
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Statement
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"Zeige $\\sum_{i = 0}^m i^3 = (\\sum_{i = 0}^m i)^2$."
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(m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ))^2 := by
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induction' m with m hm
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Statement (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ))^2 := by
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Hint "**Du**: Gulp. Naja das wird schon klappen. Also man fängt wieder mit Induktion an…"
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induction m
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Hint "**Du**: Also den Induktionsanfang kann man einfach zeigen…"
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simp
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Hint "**Robo**: Und jetzt wieder `rw [Fin.sum_univ_castSucc]` und `simp` um vorwärts zu
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kommen!"
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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simp
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rw [hm]
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := m + 1)]
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simp
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rw [add_pow_two]
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rw [arithmetic_sum]
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ring
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Hint "**Robo**: Siehst du die Induktionshypothese hier drin?"
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rw [n_ih]
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Hint "**Du**: Ok, damit habe ich die linke Seite der Gleichung ziemlich gut bearbeitet.
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Aber, ehm, mit der Rechten komme ich nicht weiter…
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NewLemma arithmetic_sum add_pow_two
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Der Golem schaut dich finster an.
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HiddenHint (m : ℕ) : ∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ) ^ 3 = (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Führe auch hier einen Induktionsbeweis."
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**Robo**: Du willst `Fin.sum_univ_castSucc` auf der rechten Seite anwenden, aber es
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gibt mehrere Orte, wo das Lemma passen würde.
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Deshalb musst du mit `rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := {n} + 1)]` angeben, wo genau.
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HiddenHint : ∑ i : Fin (Nat.zero + 1), (i : ℕ) ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.zero + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"`simp` kann den Induktionsanfang beweisen."
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**Du**: Was bedeutet das?
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Hint (m : ℕ) : ∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), (i : ℕ) ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Im Induktionsschritt willst du das Goal so umformen, dass du folgende Therme
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ersetzen kannst:
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* `∑ i : Fin (m + 1), ↑i ^ 3` (Induktionshypothese)
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* `2 * (∑ i : Fin (m + 1), ↑i)` (arithmetische Summe)
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"
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HiddenHint (m : ℕ) : ∑ i :
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Fin (Nat.succ m + 1), (i : ℕ) ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"
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Als erstes kannst du mal mit dem bekannten `rw [Fin.sum_univ_castSucc]` anfangen.
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"
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**Robo** Das Lemma hat eine Annahme `n` und du sagst ihm explizit, was es für dieses `n`
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einsetzen muss, nämlich `{n} + 1`"
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Branch
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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Hint "**Robo**: Das hat jetzt einfach `Fin.sum_univ_castSucc` am ersten Ort angewendet,
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wo das möglich war. Das ist nicht so ideal, die like Seite war schon okay.
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HiddenHint (m : ℕ) : ∑ i : Fin (m + 1), (Fin.castSucc.toEmbedding i : ℕ) ^ 3 +
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↑(Fin.last (m + 1)) ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Mit `simp` kriegst du das `↑(Fin.castSucc.toEmbedding i)` weg"
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Hint (m : ℕ) : ∑ x : Fin (m + 1), (x : ℕ) ^ 3 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Jetzt kannst du die Induktionshypothese benützen."
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Die linke Seite ist jetzt erst mal gut. Um auf der rechten Seite `Fin.sum_univ_castSucc`
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anzuwenden, haben wir ein Problem: Lean schreibt immer die erste Instanz um, also würde gerne
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auf der linken Seite `(∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2` umschreiben.
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Wir können Lean hier weiterhelfen, indem wir manche Argemente von `Fin.sum_univ_castSucc`
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explizit angeben. Die Funktion hat ein Argument mit dem Namen `n`, welches wir z.B. explizit
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angeben können:
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```
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := m + 1)]
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```
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"
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**Robo**: Geh doch zurück und bring `rw` dazu am anderen Ort umzuschreiben."
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := n + 1)]
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simp
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Hint "**Robo**: `add_pow_two` ist auch noch nützlich!"
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rw [add_pow_two]
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Hint "**Du**: Ich glaube, ich sehe hier ne arithmetische Summe drin!!
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HiddenHint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (m + 1), ↑(Fin.castSucc.toEmbedding i) + ↑(Fin.last (m + 1))) ^ 2 =>
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"Wenn du noch einen AUsdruck `↑(Fin.castSucc.toEmbedding i)` hast, solltest du mal
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`simp` aufrufen."
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**Robo**: Ich habe dir das dies von vorhin temporär als `arithmetic_sum` gespeichert,
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damit du diese brauchen kannst."
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rw [arithmetic_sum]
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Hint "**Du**: Jetzt sollten es eigentlich nur noch arithmetische Operationen sein."
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ring
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 = (∑ i : Fin (m + 1), ↑i + (m + 1)) ^ 2 =>
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"Die rechte Seite hat die Form $(a + b)^2$ welche mit `add_pow_two` zu $a^2 + 2ab + b^2$
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umgeschrieben werden kann."
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NewLemma arithmetic_sum add_pow_two
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HiddenHint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (2 * ∑ i : Fin (m + 1), ↑i) * (m + 1) + (m + 1) ^ 2 =>
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"Wenn du noch einen AUsdruck `↑(Fin.castSucc.toEmbedding i)` hast, solltest du mal
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`simp` aufrufen."
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Conclusion "Der Golem denkt ganz lange nach, und ihr bekommt das Gefühl, dass er gar nie
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aggressive war, sondern nur eine sehr tiefe Stimme hat.
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (2 * ∑ i : Fin (m + 1), ↑i) * (m + 1) + (m + 1) ^ 2 =>
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"Jetzt hast du in der Mitte `2 * ∑ i : Fin (m + 1), ↑i)`, welches du mit der
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arithmetischen Summe `arithmetic_sum` umschreiben kannst."
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Mit einem kleinen Erdbeben setzt er sich hin und winkt euch dankend zu.
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + m * (m + 1) * (m + 1) + (m + 1) ^ 2 =>
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"Den Rest sollte `ring` für dich übernehmen."
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Damit zieht ihr weiter durch die karge Landschaft auf diesem Planet."
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Jon Eugster
2 years ago