reorganise world Implication
Jon Eugster
3 years ago
parent
966db8a159
commit
420f913e69
@ -0,0 +1,12 @@
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import TestGame.Levels.Implication.L01_Intro
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import TestGame.Levels.Implication.L02_Revert
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import TestGame.Levels.Implication.L03_Apply
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import TestGame.Levels.Implication.L04_Apply
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import TestGame.Levels.Implication.L05_Apply
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import TestGame.Levels.Implication.L06_Iff
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import TestGame.Levels.Implication.L07_Rw
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import TestGame.Levels.Implication.L08_Iff
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import TestGame.Levels.Implication.L09_Iff
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import TestGame.Levels.Implication.L10_Apply
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import TestGame.Levels.Implication.L11_Rw
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import TestGame.Levels.Implication.L12_Summary
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@ -0,0 +1,40 @@
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import TestGame.Metadata
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Implication"
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Level 1
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Title "Intro"
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Introduction
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"
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## Implikationen
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In diesem Kapitel lernst du Implikation ($\\Rightarrow$) und Genau-dann-wenn
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($\\Leftrightarrow$) kennen.
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Dazu lernst du, wie man bereits bewiesene Sätze verwendet.
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Seien `(A B : Prop)` zwei logische Aussagen. Eine Implikation $A \\Rightarrow B$ schreibt
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man in Lean als `A → B` (`\\to`).
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Wenn das Goal eine Implikation $A \\Rightarrow B$ ist, kann man mit
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`intro ha` annehmen, dass $A$ wahr ist. Dann muss man $B$ beweisen.
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"
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Statement
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"Wenn $B$ wahr ist, dann ist die Implikation $A \\Rightarrow (A ∧ B)$ wahr."
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(A B : Prop) (hb : B) : A → (A ∧ B) := by
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intro hA
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constructor
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assumption
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assumption
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (hb : B) : A → (A ∧ B) =>
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"Mit `intro ha` kann man annehmen, dass $A$ wahr ist. danach muss man $A \\land B$ zeigen."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (ha : A) (hb : B) : (A ∧ B) =>
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"Jetzt kannst du die Taktiken aus dem letzten Kapitel verwenden."
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Tactics intro constructor assumption
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@ -0,0 +1,42 @@
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import TestGame.Metadata
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Implication"
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Level 2
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Title "Revert"
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Introduction
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"
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Mit `intro` kann man also eine Implikation aus dem Goal entfernen, indem man
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die Implikationsprämisse zu den *Annahmen* hinzufügt:
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```
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example : A → B :=
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[Beweis]
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```
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wird zu
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```
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example (ha : A) : B :=
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[Beweis]
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```
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Seltener kann auch die andere Richtung nützlich sein. Mit `revert ha` kann man die Annahme
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`ha` entfernen und als Implikationsprämisse vor's Goal hängen.
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"
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Statement
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"Angenommen $A$ ist eine wahre Aussage und man hat eine Implikation $A \\Rightarrow B$, zeige
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dass $B$ wahr ist."
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(A B : Prop) (ha : A) (h : A → B) : B := by
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revert ha
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assumption
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (ha : A) (h : A → B): B =>
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"Mit `revert ha` kann man die Annahme `ha` als Implikationsprämisse vorne ans Goal anhängen."
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Tactics revert assumption
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@ -0,0 +1,74 @@
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import TestGame.Metadata
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import Init.Data.ToString
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-- #check List UInt8
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Game "TestGame"
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World "Implication"
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Level 7
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Title "Genau dann wenn"
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Introduction
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"
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Hat man ein `(h : A ↔ B)` in den Annahmen, hat man die gleichen beiden Optionen wie beim
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logischen UND plus noch eine neue:
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1. Mit `h.mp` und `h.mpr` (oder `h.1` und `h.2`) kann man die einzelnen Implikationen
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direkt auswählen.
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2. Mit `rcases h with ⟨h₁, h₂⟩` könnte man die Struktur `h` zerlegen und man erhält zwei
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separate Annahmen `(h₁ : A → B)` und `(h₂ : B → A)`
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3. **Mit** `rw [h]` **kann man im Goal `A` durch `B` ersetzen.**
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Wir widmen uns zuerst `rw`. Dies steht für \"rewrite\". Da $A$ und $B$ logisch äquivalent
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sind, kann man beliebig das eine mit dem anderen vertauschen.
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`rw [h]` ersetzt $A$ durch $B$.
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Dabei gibt es noch einige Tricks:
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- `rw [← h]` ersetzt umgekehrt $B$ durch $A$ (`\\l`, kleines L).
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- `rw [h, g]` ist das gleiche wie `rw [h]` gefolgt von `rw [g]`.
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"
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Statement
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"Zeige dass `B ↔ C`."
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(A B C D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ C := by
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rw [h₁]
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rw [←h₂]
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assumption
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ C =>
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"Im Goal kommt `C` vor und `h₁` sagt `C ↔ D`.
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Probiers doch mit `rw [h₁]`."
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : A ↔ C =>
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"Im Goal kommt `C` vor und `h₁` sagt `C ↔ D`.
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||||
Probiers doch mit `rw [h₁]`."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ D =>
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"Man kann auch rückwärts umschreiben:
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`rw [←h₂]` ersetzt man im Goal `B` durch `a` (`\\l`, also ein kleines L)"
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A ↔ B) : A ↔ B =>
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"Schau mal durch die Annahmen durch."
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-- These should not be necessary if they don't use `rw [] at`.
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ C) : B ↔ C =>
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"Auch eine Möglichkeit... Kannst du das Goal so umschreiben,
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dass es mit einer Annahme übereinstimmt?"
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : B ↔ D) : B ↔ C =>
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"Auch eine Möglichkeit.. Kannst du das Goal so umschreiben, dass es mit einer Annahme übereinstimmt?"
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Message (A : Prop) (B : Prop) (h : B ↔ A) : A ↔ B =>
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"Naja auch Umwege führen ans Ziel... Wenn du das Goal zu `A ↔ A` umschreibst, kann man es mit
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`rfl` beweisen (rsp. das passiert automatisch.)"
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : D ↔ B) (h₃ : D ↔ A) : B ↔ C =>
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"Das ist nicht der optimale Weg..."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : D ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ C =>
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||||
"Das ist nicht der optimale Weg..."
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Tactics rw assumption
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@ -0,0 +1,44 @@
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import TestGame.Metadata
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Implication"
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Level 8
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Title "Genau dann wenn"
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Introduction
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"
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Nun schauen wir uns Option 1) an, die du schon von UND kennst:
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1. Mit `h.mp` und `h.mpr` (oder `h.1` und `h.2`) kann man die einzelnen Implikationen
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direkt auswählen.
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`h.mp` und `h.mpr` (oder `h.1` und `h.2`) sind die einzelnen Implikationen, und du kannst
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mit denen ensprechend arbeiten. Insbesondere kannst du mit `apply h.mp` die Implikation
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$A \\Rightarrow B$ anwenden, wenn das Goal $B$ ist.
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*(PS: das `.mp` kommt von \"Modus Ponens\", ein Ausdruck as der Logik.)*
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"
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Statement
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"Angenommen man hat $A \\iff B$ und $B \\Rightarrow C$, zeige $A \\Rightarrow C$."
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(A B C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) : A → C := by
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intro hA
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apply g
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apply h.mp
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assumption
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) : A → C =>
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"Fange wie immer mit `intro` an."
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) (hA : A) : C =>
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"Wie im Implikationen-Level kannst du nun `apply` verwenden."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) (hA : A) : B =>
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"Mit `apply h.mp` kannst du nun die Implikation `A → B` anwenden."
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Conclusion "Im nächsten Level findest du die zweite Option."
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Tactics apply assumption
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@ -1,27 +0,0 @@
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import TestGame.Metadata
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Game "TestGame"
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World "Predicate"
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Level 6
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Title "Definitionally equal"
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Introduction
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"
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**Vorsicht:** `rfl` kann auch Gleichungen beweisen, wenn die beiden Terme Lean-intern gleich
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definiert sind, auch wenn diese unterschiedlich dargestellt werden. Das kann anfänglich
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zu Verwirrung führen.
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So ist `2` als `1 + 1` definiert, deshalb funktioniert `rfl` auch hier.
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"
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Statement "Zeige dass $1 + 1$ zwei ist." : 1 + 1 = 2 := by
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rfl
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Conclusion
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"
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**Notiz:** Die meisten anderen Taktiken versuchen am Schluss automatisch `rfl`
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aufzurufen, deshalb brauchst du das nur noch selten.
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"
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Tactics rfl
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@ -1,44 +0,0 @@
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import TestGame.Metadata
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import Init.Data.ToString
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-- #check List UInt8
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Game "TestGame"
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World "Implication"
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Level 6
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Title "Genau dann wenn"
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Introduction
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"
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Genau-dann-wenn, $A \\iff B$, wird als `A ↔ B (`\\iff`) geschrieben.
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Als erstes kann man mit `rw` Annahmen der Form `(h : A ↔ B)` genau gleich wie Gleichungen
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`(h : a = b)` benützen, um das Goal umzuschreiben.
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Hier also nochmals die Gleiche Aufgabe wie zuvor,
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aber diesmal mit Iff-Statements von Aussagen anstatt
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Gleichungen von natürlichen Zahlen.
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"
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Statement
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"Zeige dass `B ↔ C`."
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(A B C D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ C := by
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rw [h₁]
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rw [←h₂]
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assumption
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ C =>
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"Im Goal kommt `C` vor und `h₁` sagt `C ↔ D`.
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||||
Probiers doch mit `rw [h₁]`."
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (D : Prop) (h₁ : C ↔ D) (h₂ : A ↔ B) (h₃ : A ↔ D) : B ↔ D =>
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"Zur Erinnerung: Man kann auch rückwärts umschreiben: `h₂` sagt `A ↔ b` mit
|
||||
`rw [←h₂]` ersetzt man im Goal `b` durch `a` (`\\l`, also ein kleines L)"
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A ↔ B) : A ↔ B =>
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||||
"Schau mal durch die Annahmen durch."
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Tactics rw assumption
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@ -1,44 +0,0 @@
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import TestGame.Metadata
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Implication"
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Level 7
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||||
Title "Genau dann wenn"
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||||
Introduction
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"
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Wenn man eine Annahme `(h : A ↔ B)` hat, kann man auch davon die beiden einzelnen
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Implikationen $\\textrm{mp} : A \\Rightarrow B$ und $\\textrm{mpr} : B \\Rightarrow A$
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brauchen.
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Dazu gibt es zwei Methoden:
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1.) `h.mp` (oder `h.1`) und `h.mpr` (oder `h.2`) sind direkt die einzelnen Richtungen.
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Man kann also z.B. mit `apply h.mp` die Implikation `A → B` auf ein Goal `B` anwenden.
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(PS: das `.mp` kommt von \"Modus Ponens\", ein Ausdruck as der Logik.)
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"
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Statement
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"Angenommen man hat $A \\iff B$ und $B \\Rightarrow C$, zeige $A \\Rightarrow C$."
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(A B C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) : A → C := by
|
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intro hA
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apply g
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apply h.mp
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||||
assumption
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) : A → C =>
|
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"Zuerst kannst du wieder `intro` benützen um die Implikation anzugehen."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) (hA : A) : C =>
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"Der nächste Schritt kommt auch noch aus dem Implikationen-Level."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ↔ B) (g : B → C) (hA : A) : B =>
|
||||
"Mit `apply h.mp` kannst du nun die Implikation `A → B` anwenden."
|
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||||
Conclusion "Im nächsten Level findest du die zweite Option."
|
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Tactics apply assumption
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@ -0,0 +1 @@
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||||
import TestGame.Levels.Predicate.L01_Ring
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