story contradiction
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Jon Eugster
@@ -8,3 +8,9 @@ import TestGame.Levels.Contradiction.L06_Summary
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Game "TestGame"
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World "Contradiction"
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Title "Widerspruch"
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Introduction "
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Ihr begebt euch auf die Suche nach *Oddeus*. Nach etwas rumfragen, kommt ihr tatsächlich an
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eine Dornenfestung und nachdem ihr erklärt habt, wer ihr seit, werdet ihr auf eine Audienz
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gebeten.
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"
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@@ -15,56 +15,46 @@ Title "Have"
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Introduction
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"
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Manchmal, wollen wir nicht am aktuellen Goal arbeiten, sondern zuerst ein
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Zwischenresultat beweisen, welches wir dann benützen können.
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Mit `have [Name] : [Aussage]` kann man ein Zwischenresultat erstellen,
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dass man anschliessen beweisen muss.
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Wenn du zum Beispiel die Annahmen `(h : A → ¬ B)` und `(ha : A)` hast, kannst
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du mit
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```
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have g : ¬ B
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apply h
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assumption
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```
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eine neue Annahme `(g : ¬ B)` erstellen. Danach beweist du zuerst diese Annahme,
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bevor du dann mit dem Beweis forfährst.
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**Oddeus**: Willkommen Reisende! Ich muss eingestehen ich bin in Gedanken noch
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an etwas, könnt ihr mir bei diesem widersprüchlichen Problem helfen?
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"
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Statement
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"Angenommen, man hat eine Implikation $A \\Rightarrow \\neg B$ und weiss, dass
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$A \\land B$ wahr ist. Zeige, dass dies zu einem Widerspruch führt."
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(A B : Prop) (h : A → ¬ B) (k : A ∧ B) : False := by
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-- Manchmal, wollen wir nicht am aktuellen Goal arbeiten, sondern zuerst ein
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-- Zwischenresultat beweisen, welches wir dann benützen können.
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-- Mit `have [Name] : [Aussage]` kann man ein Zwischenresultat erstellen,
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-- dass man anschliessen beweisen muss.
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-- Wenn du zum Beispiel die Annahmen `(h : A → ¬ B)` und `(ha : A)` hast, kannst
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-- du mit
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-- ```
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-- have g : ¬ B
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-- apply h
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-- assumption
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-- ```
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-- eine neue Annahme `(g : ¬ B)` erstellen. Danach beweist du zuerst diese Annahme,
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-- bevor du dann mit dem Beweis forfährst.
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Statement (A B : Prop) (h : A → ¬ B) (k : A ∧ B) : False := by
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Hint "**Du**: Also als erstes Teile ich wohl mal das Und (`∧`) auf."
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rcases k with ⟨h₁, h₂⟩
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have h₃ : ¬ B
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apply h
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assumption
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contradiction
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Hint "**Du**: Aber jetzt…
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A → ¬ B) (k : A ∧ B) : False =>
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" Fang mal damit an, das UND in den Annahmen mit `rcases` aufzuteilen.
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"
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**Robo**: Du könntest dir ein passendes Zwischenresultat zurechtlegen, das dir hilft:
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Mach mal `have g : ¬ B`!"
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have g : ¬ B
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· Hint "**Du**: Was und jetzt hab ich einfach angenommen das sei richtig?
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A → ¬ B) (k : A) (f : B) : False =>
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"
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Auf Deutsch: \"Als Zwischenresultat haben wir `¬ B`.\"
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**Robo**: Ne, jetzt musst du das zuerst beweisen bevor du es dann benützen kannst."
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Hint (hidden := true) "**Robo**: `apply` scheint passend zu sein."
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apply h
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assumption
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· Hint (hidden := true) "**Du**: Und wie war das nochmals wenn zwei Annahmen sich widersprechen?
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In Lean :
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```
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have k : ¬ B
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[Beweis von k]
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```
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"
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-- example (n : ℕ) : n.succ + 2 = n + 3 := by
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-- ring_nf
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Conclusion ""
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**Robo**: `contradiction`."
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contradiction
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NewTactic «have»
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DisabledTactic «suffices»
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NewDefinition Even Odd
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NewLemma not_even not_odd
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Conclusion "*Oddeus*: Das stimmt wohl."
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@@ -15,52 +15,49 @@ Title "Suffices"
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Introduction
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"
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Die Taktik `suffices` funktioniert genau gleich wie `have`,
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vertauscht aber die beiden Beweisblöcke:
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```
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suffices h : [Aussage]
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[Beweis des Goals (mithilfe von h)]
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[Beweis der Aussage h]
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```
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Auf Deutsch entspricht `suffices g : [Aussage]` dem Ausdruck
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\"Es genügt zu zeigen, dass `[Aussage]` wahr ist.\"
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||||
Man kann `have` und `suffices` nach belieben vertauschen. Bevorzugt, wählt man es so,
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dass der erste Beweisblock der kürzere ist. Zum Beispiel wäre bei der vorigen Aufgabe
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`suffices` schöner gewesen:
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*Oddeus*' Partner meldet sich.
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**Partner**: Ich habe letzthin was änliches gesehen, aber irgendwie verdreht.
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"
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-- Die Taktik `suffices` funktioniert genau gleich wie `have`,
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||||
-- vertauscht aber die beiden Beweisblöcke:
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-- ```
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||||
-- suffices h : [Aussage]
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||||
-- [Beweis des Goals (mithilfe von h)]
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||||
-- [Beweis der Aussage h]
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||||
-- ```
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||||
-- Auf Deutsch entspricht `suffices g : [Aussage]` dem Ausdruck
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||||
-- \"Es genügt zu zeigen, dass `[Aussage]` wahr ist.\"
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||||
|
||||
-- Man kann `have` und `suffices` nach belieben vertauschen. Bevorzugt, wählt man es so,
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||||
-- dass der erste Beweisblock der kürzere ist. Zum Beispiel wäre bei der vorigen Aufgabe
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||||
-- `suffices` schöner gewesen:
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Statement
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"Angenommen, man hat eine Implikation $A \\Rightarrow \\neg B$ und weiss, dass
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$A \\land B$ wahr ist. Zeige, dass dies zu einem Widerspruch führt."
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||||
(A B : Prop) (h : A → ¬ B) (k : A ∧ B) : False := by
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||||
rcases k with ⟨h₁, h₂⟩
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suffices k : ¬ B
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||||
(A B : Prop) (h : A → ¬ B) (k₁ : A) (k₂ : B) : False := by
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Hint "**Robo**: Ich weiss was er meint! Anstatt `have` kannst du auch `suffices`
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brauchen. Das funktioniert genau gleich, aussert dass dann die beiden Goals vertauscht sind.
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**Du**: Also nach `suffices g : ¬B` muss ich dann zuerst zeigen, wie man mit `g` den Beweis
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abschliesst bevor ich `g` beweise?
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**Robo**: Genau! Verwendende `have` und `suffices` einfach nach gutdünken."
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suffices g : ¬ B
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Hint "**Robo**: Also hier beendest du den Beweis angenommen {g} sei wahr."
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contradiction
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Hint "**Robo**: Und hier beweist du das Zwischenresultat."
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apply h
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assumption
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A → ¬ B) (k : A ∧ B) : False =>
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" Fang mal damit an, das UND in den Annahmen mit `rcases` aufzuteilen.
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"
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A → ¬ B) (k : A) (f : B) : False =>
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" Auf Deutsch: \"Es genügt `¬ B` zu zeigen, da dies zu einem direkten Widerspruch führt.\"
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In Lean :
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```
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suffices k : ¬ B
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contradiction
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[...]
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```
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"
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Conclusion ""
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NewTactic «suffices»
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DisabledTactic «have»
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NewDefinition Even Odd
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NewLemma not_even not_odd
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Conclusion "*Oddeus* nimmt den Brief, schaut ihn an und, rollt ihn zusammen.
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**Oddeus**: Ich verstehe meine Schwester nie. Kommt, vielleicht könnt ihr mir helfen.
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Und er führt euch durch seinen Rosengarten."
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@@ -15,41 +15,51 @@ Level 3
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Title "Per Widerspruch"
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Introduction
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"
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Eine sehr nützliche Beweismethode ist per Widerspruch.
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"**Oddeus**: Ich verstehe *Evenine* einfach nicht. Ich will euch auch gleich zeigen,
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was sie mir letzthin geschrieben hat, aber zuerst schaut einmal unseren
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wunderschönen Absurda-Tempel an!
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Wir habe schon gesehen, dass `contradiction` einen Widerspruch in den Annahmen
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sucht, und damit jegliches beweisen kann.
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Damit kommt ihr vor einen sehr hohen Turm, der ausschliesslich aus Dornenranken gewachsen
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scheint.
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Um dorthin zu kommen, können wir `by_contra h` brauchen, welches das aktuelle
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Goal auf `False` setzt und die Negierung des Goals als Annahme hinzufügt.
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||||
Insbesondere braucht man `by_contra h` meistens, wenn im Goal eine Negierung
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steht:
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**Oddeus**: Versteht ihr, was hier über dem Eingang steht?
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"
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Statement
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"Angenommen $B$ ist falsch und es gilt $A \\Rightarrow B$. Zeige, dass $A$ falsch sein
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muss."
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(A B : Prop) (g : A → B) (b : ¬ B) : ¬ A := by
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by_contra a
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suffices b : B
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-- Eine sehr nützliche Beweismethode ist per Widerspruch.
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||||
-- Wir habe schon gesehen, dass `contradiction` einen Widerspruch in den Annahmen
|
||||
-- sucht, und damit jegliches beweisen kann.
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||||
|
||||
-- Um dorthin zu kommen, können wir `by_contra h` brauchen, welches das aktuelle
|
||||
-- Goal auf `False` setzt und die Negierung des Goals als Annahme hinzufügt.
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||||
|
||||
-- Insbesondere braucht man `by_contra h` meistens, wenn im Goal eine Negierung
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||||
-- steht:
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Statement (A B : Prop) (g : A → B) (b : ¬ B) : ¬ A := by
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Hint "**Robo**: Ein `¬` im Goal heisst häufig, dass du einen Widerspruchsbeweis führen
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möchtest.
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**Du**: Und wie mach ich das? Mit `contradiction`?
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**Robo**: Mit `by_contra h` fängst du einen an. Mit `contradiction` schliesst du ihn dann
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später ab."
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by_contra h
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Hint "**Robo**: Jetzt hast du also eine Annahme `{h} : ¬ {A}`, und damit musst du einen
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Widerspruch herbeileiten.
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Ein Methode ist, dass du jetzt mit `suffices` sagts, zu was du denn gerne den Widerspruch
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haben möchtest, zum Beispiel `suffices k : B`
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"
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suffices k : B
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Hint "**Du**: Ah und jetzt kann ich einfach sagen dass sich die Anahmen `{B}` und `¬{B}`
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widersprechen."
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contradiction
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Hint "**Robo**: Und jetzt kannst du noch das Ergebnis zeigen, das zu einem Widerspruch
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geführt hat."
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apply g
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assumption
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NewTactic by_contra
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HiddenHint (A : Prop) (B : Prop) (h : A → B) (b : ¬ B) : ¬ A =>
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"`by_contra h` nimmt das Gegenteil des Goal als Annahme `(h : A)` und setzt das
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Goal auf `False`."
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (h : A → B) (b : ¬ B) (a : A) : False =>
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"Jetzt kannst du mit `suffices` oder `have` Fortschritt machen."
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HiddenHint (A : Prop) (B : Prop) (h : A → B) (b : ¬ B) (a : A) : False =>
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"Zum Beispiel `suffices hb : B`."
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Conclusion ""
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NewTactic by_contra contradiction apply assumption
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Conclusion "**Oddeus**: Sehr gut, kommt mit hinein!"
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@@ -16,34 +16,36 @@ Title "Per Widerspruch"
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Introduction
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"
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Als Übung zu `by_contra` und dem bisher gelernten, zeige folgendes Lemma welches
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wir für die Kontraposition brauchen werden:
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*Oddeus* Geht zu einem Regal mit vielen Dokumenten und beginnt zu suchen.
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**Oddeus**: Ich hab's gleich. Hier ist eine Notiz meiner Gelehrter, die mir
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mit solchen kryptischen Nachrichten helfen wollten.
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Auf dem Pergament steht das ein Lemma mit dem Namen `not_imp_not`:
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"
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Statement not_imp_not
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"$A \\Rightarrow B$ ist äquivalent zu $\\neg B \\Rightarrow \\neg A$."
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||||
(A B : Prop) : A → B ↔ (¬ B → ¬ A) := by
|
||||
Statement not_imp_not (A B : Prop) : A → B ↔ (¬ B → ¬ A) := by
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Hint "**Du**: Ich glaube, dafür kenn ich das meiste schon."
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Hint (hidden := true) "**Robo**: Fang doch mal mit `constructor` an."
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constructor
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intro h b
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by_contra a
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Hint "**Robo**: Zur Erinnerung, hier würde ich mit `suffices g : B` einen Widerspruch
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herbeiführen."
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suffices b : B
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contradiction
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apply h
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assumption
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intro h a
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Hint "**Robo**: Hier würde ich ebenfalls einen Widerspruch anfangen."
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by_contra b
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Hint (hidden := true) "**Robo**: `suffices g : ¬ A` sieht nach einer guten Option aus."
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suffices g : ¬ A
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contradiction
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apply h
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assumption
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-- TODO: Forbidden Tactics: apply, rw
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-- TODO: forbidden Lemma: not_not
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DisabledTactic rw
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DisabledLemma not_not
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|
||||
HiddenHint (A : Prop) (B : Prop) : A → B ↔ (¬ B → ¬ A) =>
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""
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||||
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Conclusion ""
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NewTactic contradiction constructor intro by_contra apply assumption
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Conclusion "**Du**: Und wie hilft uns das jetzt, was steht denn in dem Brief?"
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@@ -14,53 +14,56 @@ Title "Kontraposition"
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||||
Introduction
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"
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Ein Beweis durch Kontraposition benützt im Grunde das eben bewiesene Lemma
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*Oddeus* reicht euch das Papier.
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```
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lemma not_imp_not (A B : Prop) : (A → B) ↔ (¬ B → ¬ A) := by
|
||||
[...]
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||||
```
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||||
**Du**: Da steht etwas über `contrapose` hier…
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||||
|
||||
Dazu gibt es die Taktik `contrapose`, welche eine Implikation im Goal
|
||||
entsprechend umdreht.
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||||
**Oddeus**: Das ist doch klar eine Aggression uns gegenüber!
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||||
|
||||
Wir erinnern hier an die Taktik `revert h`, die aus der Annahme `h` eine Implikation
|
||||
im Goal erstellt.
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||||
|
||||
Im Gegensatz dazu kann man auch einen Beweis durch Kontraposition führen.
|
||||
Das ist kein Widerspruch, sondern benützt dass `A → B` und `(¬ B) → (¬ A)`
|
||||
logisch equivalent sind.
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||||
|
||||
Wenn das Goal eine Implikation ist, kann man `contrapose` anwenden.
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||||
**Robo**: Wartet mal, vielleicht wollte euch eure Schwester einfach von ihren neuen
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||||
Endeckungen zeigen. Schaut, darunter ist eine Aufgabe.
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||||
"
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||||
|
||||
Statement
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||||
"Ist n² ungerade, so ist auch n ungerade. Beweise durch Kontraposition."
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||||
(n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)): Odd n := by
|
||||
-- Ein Beweis durch Kontraposition benützt im Grunde das eben bewiesene Lemma
|
||||
|
||||
-- ```
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||||
-- lemma not_imp_not (A B : Prop) : (A → B) ↔ (¬ B → ¬ A) := by
|
||||
-- [...]
|
||||
-- ```
|
||||
|
||||
-- Dazu gibt es die Taktik `contrapose`, welche eine Implikation im Goal
|
||||
-- entsprechend umdreht.
|
||||
|
||||
-- Wir erinnern hier an die Taktik `revert h`, die aus der Annahme `h` eine Implikation
|
||||
-- im Goal erstellt.
|
||||
|
||||
-- Im Gegensatz dazu kann man auch einen Beweis durch Kontraposition führen.
|
||||
-- Das ist kein Widerspruch, sondern benützt dass `A → B` und `(¬ B) → (¬ A)`
|
||||
-- logisch equivalent sind.
|
||||
|
||||
-- Wenn das Goal eine Implikation ist, kann man `contrapose` anwenden.
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||||
|
||||
Statement (n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)): Odd n := by
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||||
Hint "**Oddeus**: Wie soll das den gehen?
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||||
**Robo**: `contrapose` benutzt das Lemma eurer Gelehrter, `not_imp_not`. Also es wandelt
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ein Goal `A → B` zu `¬B → ¬A ` um.
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||||
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||||
**Du**: Aber das Goal ist doch gar keine Implikation?
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||||
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||||
**Robo**: Mit `revert {h}` kannst du die Annahme `{h}` als Implikationsannahme ins Goal
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schieben."
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||||
revert h
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||||
Hint "*Oddeus*: Ob man jetzt wohl dieses `contrapose` benutzen kann?"
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||||
contrapose
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||||
Hint (hidden := true) "**Du**: Warte mal, jetzt kann man wohl `not_odd` verwenden…"
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||||
rw [not_odd]
|
||||
rw [not_odd]
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||||
Hint "**Robo**: Und den Rest hast du bei *Evenine* als Lemma gezeigt!"
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||||
apply even_square
|
||||
|
||||
HiddenHint (n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) : Odd n =>
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||||
"Um `contrapose` anzuwenden, brauchen wir eine Implikation `Odd (n ^ 2) → Odd n` im
|
||||
Goal. Benutze `revert h`!"
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||||
NewTactic contrapose
|
||||
DisabledTactic by_contra
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||||
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||||
Hint (n : ℕ) : Odd (n ^ 2) → Odd n =>
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||||
"Mit `contrapose` kann man die Implikation zu
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||||
`¬ (Not n) → ¬ (Odd n^2)` umkehren."
|
||||
|
||||
Hint (n : ℕ) : ¬Odd n → ¬Odd (n ^ 2) => "Erinnere dich an das Lemma `not_odd`."
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||||
|
||||
HiddenHint (n : ℕ) : ¬Odd n → ¬Odd (n ^ 2) => "Dieses kann mit `rw` gebraucht werden."
|
||||
|
||||
Hint (n : ℕ) : Even n → ¬Odd (n ^ 2) =>
|
||||
"rw [not_odd] muss hier zweimal angewendet werden."
|
||||
|
||||
Hint (n : ℕ) : Even n → Even (n ^ 2) =>
|
||||
"Diese Aussage hast du bereits als Lemma bewiesen, schau mal in der Bibliothek."
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||||
|
||||
NewTactic contrapose rw apply
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||||
NewDefinition Even Odd
|
||||
NewLemma not_even not_odd even_square
|
||||
Conclusion "**Oddeus**: Ah ich sehe, die Aussage ist, dass wir das nur zusammen lösen konnten.
|
||||
Ich danke euch, darauf wäre ich nie gekommen."
|
||||
|
||||
@@ -14,63 +14,41 @@ Title "Contradiction"
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||||
|
||||
Introduction
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||||
"
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||||
**Du**: Sag mal Robo, das hätte ich aber auch als Widerspruch anstatt Kontraposition
|
||||
beweisen können?
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||||
|
||||
**Robo**: Klar. `contrapose` ist eine Kontraposition, `by_contra` ein Widerspruchsbeweis.
|
||||
Probiers doch einfach!
|
||||
In diesem Kapitel hast du also folgende Taktiken kennengelernt:
|
||||
|
||||
| | Taktik | Beispiel |
|
||||
|:------|:----------------|:-------------------------------------------------------|
|
||||
| 16 | `have` | Zwischenresultat annehmen. |
|
||||
| 17 | `suffices` | Zwischenresultat annehmen. |
|
||||
| 18 | `by_contra` | Widerspruch. (startet einen Widerspruch) |
|
||||
| *3* | `contradiction` | *(Schliesst einen Widerspruchsbeweis)* |
|
||||
| 19 | `contrapose` | Contraposition. |
|
||||
| *9* | `revert` | Nützlich um danach `contrapose` anzuwenden. |
|
||||
|
||||
Als Vergleich zwischen Beweisen \"per Widerspruch\"
|
||||
und \"per Kontraposition\", beweise die Gleiche Aufgabe indem
|
||||
du mit `by_contra` einen Widerspruch suchst.
|
||||
"
|
||||
|
||||
Statement
|
||||
"Ist n² ungerade, so ist auch n ungerade. Beweise durch Widerspruch."
|
||||
(n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) : Odd n := by
|
||||
Statement (n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) : Odd n := by
|
||||
Hint "**Robo**: Fang diesmal mit `by_contra g` an!"
|
||||
by_contra g
|
||||
Hint "**Robo**: Jetzt würde ich einen Widerspruch zu `Odd (n ^ 2)` führen."
|
||||
Hint "**Robo**: Also `suffices g : ¬ Odd (n ^ 2)`."
|
||||
suffices d : ¬ Odd (n ^ 2)
|
||||
contradiction
|
||||
rw [not_odd] at *
|
||||
apply even_square
|
||||
assumption
|
||||
|
||||
HiddenHint (n : ℕ) (h : Odd (n^2)) : Odd n =>
|
||||
"Schreibe `by_contra h₁` um einen Beweis durch Widerspruch zu starten."
|
||||
DisabledTactic contrapose revert
|
||||
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Hint (n : ℕ) (g : ¬ Odd n) (h : Odd (n^2)) : False =>
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Conclusion "**Robo**: Bravo! Hier nochmals ein Überblick, was wir jetzt alles auf diesem
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Mond gelernt haben:
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| | Taktik | Beispiel |
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|:------|:----------------|:-------------------------------------------------------|
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| 177 | `have` | Zwischenresultat annehmen. |
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| 18 | `suffices` | Zwischenresultat annehmen. |
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| 19 | `by_contra` | Widerspruch. (startet einen Widerspruch) |
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| *3* | `contradiction` | *(Schliesst einen Widerspruchsbeweis)* |
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| 20 | `contrapose` | Kontraposition. |
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| *9* | `revert` | Nützlich um danach `contrapose` anzuwenden. |
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"
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Am sinnvollsten ist es, hier einen Widerspruch zu `Odd (n^2)` zu suchen.
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Dafür kannst du
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```
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suffices k : ¬ Odd (n ^ 2)
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contradiction
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```
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benützen.
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"
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HiddenHint (n : ℕ) (g : ¬ Odd (n^2)) (h : Odd (n^2)) : False =>
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"Hier brauchst du nur `contradiction`."
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Hint (n : ℕ) (g : ¬ Odd n) (h : Odd (n^2)) : ¬ Odd (n^2) =>
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"Das Zwischenresultat `¬Odd (n^2)` muss auch bewiesen werden.
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Hier ist wieder das Lemma `not_Odd` hilfreich."
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HiddenHint (n : ℕ) (g : ¬ Odd n) (h : Odd (n^2)) : Even (n^2) =>
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"Mit `rw [not_Odd] at *` kannst du im Goal und allen Annahmen gleichzeitig umschreiben."
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Hint (n: ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) (g : Even n) : Even (n ^ 2) =>
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"Diese Aussage hast du bereits als Lemma bewiesen."
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HiddenHint (n: ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) (g : Even n) : Even (n ^ 2) =>
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"Probiers mit `apply ...`"
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NewTactic contradiction by_contra rw apply assumption -- TODO: suffices, have
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NewDefinition Even Odd
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NewLemma not_odd not_even even_square
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Reference in New Issue
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