Zurück im Raumschiff macht ihr euch auf den Weg zum einem der beiden Monde, die ebenfalls
beide bewohnt zu sein scheinen.
Zurück im Raumschiff macht ihr euch auf den Weg zu einem der beiden Monde, die ebenfalls
bewohnt zu sein scheinen.
**Du**: Sag mal Robo, Königin *Logisindes* hat under anderem von Implikationen gesprochen,
aber niemand von den Einwohnern wusste was davon...
**Du**: Ich habe immer noch das Gefühl, dass ich die Aufgabe von Königin *Logisinde* ohne `tauto` nicht hätte lösen können.
Kamen in der Aufgabe nicht auch Implikationen vor?
**Robo**: Auf dem Mond *Implis* den wir gerade ansteuern können sie uns vielleicht mehr
erzählen…
**Robo**: Vielleicht haben wir ja auf dem Mond *Implis*, den wir gerade ansteuern, Gelegenheit, noch etwas dazuzulernen. Festhalten bitte …
Und damit leitet Robo den Landeanflug ein. Implis scheint ein riesiger Tagbau zu sein auf
dem nach allem möglichen gegraben wird. Überall seht ihr Förderbänder kreuz und quer.
Und damit leitet Robo den Landeanflug ein.
Implis scheint ein riesiger Tagebau zu sein.
Überall verlaufen Förderbänder, kreuz und quer, aber die meisten stehen still.
Ein schüchterner Operationsleiter erwartet Euch bereits.
**Operationsleiter**: Ihr kommt mir gerade recht! Ich habe schon gehört. Echte Mathematiker! Wisst Ihr, wir fördern hier Wahrheitswerte. Und dabei muss man höllisch aufpassen. Ein Fehler, und alles bricht zusammen. Aber ich bin sehr vorsichtig. Ich sage immer: Lieber Stillstand als Untergang!
Das Operationsteam begrüsst euch freundlich und lädt zum Essen im Kommandoturm.
**Operationsleiter**: Sagt mal, könnt ihr mir hier weiterhelfen?
**Operationsleiter**: Hier, zum Beispiel:
"
Statement (A B : Prop) (hb : B) : A → (A ∧ B) := by
Hint "**Du**: Einen Moment, das ist eine Implikation (`\\to`),
also `A` impliziert `A und B`, soweit so gut, also eine Tautologie.
Hint "
**Operationsleiter:** Die Arbeiten meinen, das wäre so richtig und wir würden das dringend brauchen. Aber keiner kann es mir beweisen.
**Robo**: Du hast recht, eigentlich könnte man `tauto` sagen,
aber das scheinen die hier tauto nicht zu verstehen.
Implikationen kannst du aber mit `intro h` angehen."
**Du**: Einen Moment. Das ist ja gerade so eine Implikation (`\\to`). Wir nehmen an, dass `{B}` gilt, und wollen zeigen, dass dann gilt `{A}` impliziert `{A} und {B}`. Ja, klar! Natürlich stimmt das.
Der Operationsleiter sieht Dich erwartungsvoll an.
**Du** *(leise zu Robo)*: Soll ich ihm `tauto` aufschreiben?
**Robo** *(leise zurück)*: So wie der aussieht, fürchte ich, das wird er auch nicht verstehen.
Schreib den Beweis lieber aus.
*Du**: Aber wie denn? Ich glaube, ich würde als erstes gern so etwas sagen wie 'Nehmen wir also an, `{A}` gilt …'
**Robo**: Ja, gute Idee. Wähle dazu für Deine Annahme einfach einen Namen, zum Beispiel `{h}`, und schreib `intro {h}`."
intro hA
Hint "**Du**: Jetzt habe ich also angenommen, dass `A` wahr ist und muss `A ∧ B` zeigen,
das kennen wir ja schon."
Hint "**Du**: OK. Jetzt habe ich also sowohl `{A}` als auch `{B}` in meinen Annahmen und muss `{A} ∧ {B}` zeigen.
**Robo**: Genau. Und wie das geht, weißt Du ja schon."
"Jemand aus der Gruppe gibt dir ein Blatt Papier mit einer Zeile Text:"
"Der Operationsleiter holt aus einem Container einen Stapel Papier hervor.
**Operationsleiter:** Hier hat sich echt einiges angesammelt. Wäre echt super, wenn Ihr mir noch ein bisschen helfen könntet.
Er übergibt Euch das oberste Blatt."
Statement (A B : Prop) (ha : A) (h : A → B) : B := by
Hint "**Robo**: Mit `revert {ha}` kann man die Annahme `ha` als
Implikationsprämisse vorne ans Goal anhängen, dann ist das Goal `{A} → {B}`.
Hint "**Operationsleiter:** Das ist von einem Kollegen.
**Robo**: Oh, das hab ich schon einmal irgendwo gelesen. Warte mal … Richtig! Das war damals, als ich Wikipedia gecrawlt habe: `Der Modus ponens ist eine schon in der antiken Logik geläufige Schlussfigur, die in vielen logischen …`
**Du**: Das wirkt etwas unnatürlich.
**Du**: Robo! Gefragt ist ein Beweis und kein historischer Aufsatz! Oder komme ich hier etwa mit `mopo` oder so etwas weiter?
**Robo**: Schon, ja. Aber als Tool kann das manchmal nützlich sein."
**Robo**: Ok, nein, sorry. `mopo` gibt es nicht. Probier lieber `revert {ha}`."
revert ha
assumption
Hint "**Du**: Aha. `revert` ist qausi `intro` rückwärts.
Conclusion "**Du**: Aber das müsste doch auch anders gehen, ich hätte jetzt intuitiv
die Implikation $A \\Rightarrow B$ angewendet und behauptet, dass es genügt $A$ zu zeigen…
**Robo:** Genau. `intro` nimmt die Prämisse aus einer Implikation `{A} \\to {B}` im Beweisziel und macht daraus eine Annahme. `revert` nimmt umgekehrt eine Annahme und setzt sie als Implikationsprämisse vor das Beweisziel. Aber nun mach schon fertig."
assumption
Daraufhin lächelt der Fragende nur vorahnend."
Conclusion "Der Operationsleiter nimmt erfreut Eure Lösung entgegen, und greift zum Telefon."
Selbstsicher folgt ihr den Anweisungen und geht nach draußen zum
defekten Kontrollelement. Dieses zeigt ein kompliziertes Diagram:
$$
\\begin{CD}
A @>{f}>> B @<{g}<< C \\\\
@. @V{h}VV @V{m}VV \\\\
D @>{i}>> E @>{k}>> F \\\\
@A{m}AA @A{n}AA @V{p}VV \\\\
G @<{q}<< H @>{r}>> I
\\end{CD}
$$
Die nächste Seite sieht ein bisschen komplizierter aus. Damit Ihr nicht die Übersicht verliert, fasst Robo sofort die verschiedenen Implikationen in einem Diagramm zusammen.
$$
\\begin{CD}
A @>{f}>> B @<{g}<< C \\\\
@. @V{h}VV @V{m}VV \\\\
D @>{i}>> E @>{k}>> F \\\\
@A{m}AA @A{n}AA @V{p}VV \\\\
G @<{q}<< H @>{r}>> I
\\end{CD}
$$
"
Statement
(A B C D E F G H I : Prop)
(f : A → B) (g : C → B) (h : B → E) (i : D → E) (k : E → F) (m : G → D)
(n : H → E) (p : F → I) (q : H → G) (r : H → I) : A → I := by
Hint "**Du**: Also ich muss einen Pfad von Implikationen $A \\Rightarrow I$ finden.
**Robo**: Und dann fängst du am besten wieder mit `intro` an."
**Robo**: Dann fängst du am besten wieder mit `intro` an."
intro ha
Branch
apply r
Hint "**Robo**: Das sieht nach einer Sackgasse aus…"
Hint "**Robo**: Das sieht nach einer Sackgasse aus…"
Hint (hidden := true) "**Robo**: Na wieder `apply`, was sonst."
apply p
apply k
apply h
Branch
apply g
Hint "**Robo**: Nah, da stimmt doch was nicht…"
Hint "**Robo**: Nah, da stimmt doch was nicht…"
apply f
assumption
Conclusion
"Mit einem lauten Ratteln springen die Förderbänder wieder an.
**Operationsleiter**: Vielen Dank euch! Kommt ich geb euch eine Führung und stell euch den
Technikern hier vor."
"Der Operationsleiter bedankt sich wieder artig. Er drückt wieder auf ein paar Knöpfe, und mit einem lauten Ratteln springen mehrere Förderbänder gleichzeitig wieder an."
Als erstes kommt ihr in einen kleinen Raum mit ganz vielen Bildschirmen.
Ein junges Wesen dreht sich auf dem Stuhl um, und sagt:
**Mitarbeiter**: Oh hallo! Schaut euch mal das hier an!
**Operationsleiter:** Wir hatten auch mal ein paar Förderbänder, die in beide Richtungen laufen konnten. Die hatte ich vorsichtshalber alle abgestellt, weil in den neusten Handbüchern von solchen Doppelbändern abgeraten wird. Aber vielleicht sind sie ja unter bestimmten Voraussetzungen doch sicher? Was meint Ihr zu diesem Fall?
"
Statement (A B : Prop) (mp : A → B) (mpr : B → A) : A ↔ B := by
Hint "**Robo**: Das ist ein genau-dann-wenn Pfeil: `\\iff`. Er besteht aus zwei Teilen:
`A ↔ B` ist als `⟨A → B, B → A⟩` definiert.
Hint "**Robo**: `→` ist natürlich Leansch für `$\iff$`.
Die Aussage `A ↔ B` besteht also aus zwei Teilen; sie ist als `⟨A → B, B → A⟩` definiert.
**Du**: Also ganz ähnlich wie das UND, `A ∧ B`?
**Robo**: Genau. Entsprechend kannst du hier auch mit `constructor` anfangen."
**Robo**: Genau. Entsprechend kannst Du auch hier mit `constructor` anfangen."
constructor
Hint "**Du**: Ah und die beiden hab ich schon in den Annahmen."
Hint "**Du**: Ah, und die beiden Teile habe ich schon in den Annahmen."
assumption
assumption
Conclusion
"
**Robo**: Übrigens, bei `(h : A ∧ B)` haben die beiden Teile `h.left` und `h.right` geheissen,
hier bei `(h : A ↔ B)` heissen sie `h.mp` und `h.mpr`.
**Operationsleiter**: Ok, das leuchtet mir ein.
**Du**: Also `h.mp` ist `A → B`? Wieso `mp`?
**Robo** *(zu Dir)*: Übrigens, so wie bei `(h : A ∧ B)` die beiden Teile `h.left` und `h.right` heißen,
heißen bei `(h : A ↔ B)` die beiden Teile `h.mp` und `h.mpr`.
**Operationsleiter**: \"Modulo Ponens\" ist ein lokaler Begriff hier,
aber das ist doch nicht wichtig.
**Du**: Also `h.mp` ist `A → B`? Wieso `mp`?
**Robo**: Und das \"r\" in `mpr` stünde für \"reverse\" weil's die Rückrichtung ist.
**Robo**: `mp` steht für Modus Ponens`. Der Modus ponens ist eine schon in der antiken Logik geläufige Schlussfigur, die in vielen logischen Systemen … Ach nee, das wolltest Du ja nicht hören. Das \"r\" in `mpr` steht für \"reverse\", weil's die Rückrichtung ist.
Noch während der Koch wieder zu seiner Suppe geht, kommt sein erster Gehilfe hervor.
**Operationsleiter**: Ah, die nächste Seite ist auch von diesem Kollegen. Aber da ist noch eine Notiz bei. Wir hatten hierfür schon einmal einen Beweis, aber den mochte er nicht. Er wollte einen Beweis, der weder `rw` noch `apply` verwendet!!
**Gehilfe**: Ich hab gestern noch was anderes gehört, könnt ihr mir da auch helfen?
Aber ich versteh nicht ganz was ihr meinem Chef erklärt habt.
Er holt tief Luft und seuft.
**Operationsleiter**: Ich glaube, der stellt sich immer viel dümmer, als er ist. Aber meint Ihr, Ihr schafft das?
"
Statement (A B : Prop) : (A ↔ B) → (A → B) := by
Hint "**Du**: Hmm, mindestens mit der Implikation kann ich anfangen."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Genau, das war `intro`."
intro h
Hint "**Du**: Also ich kenn `rw [h]` und `apply h.mp`, aber das will er wohl nicht hören.
Hint "**Du**: Also, ich kenne `rw [h]` und `apply h.mp`, aber das wollten wir ja diesmal vermeiden.
**Robo**: Was du machen könntest ist mit `rcases h with ⟨mp, mpr⟩` die Annahme in zwei
**Robo**: Was Du machen könntest, ist, mit `rcases h with ⟨mp, mpr⟩` die Annahme in zwei
Teile aufteilen."
Branch
intro a
Hint "**Robo**: Hier müsstest du jetzt `rw [←h]` oder `apply h.mp` benützen, aber der
Gehilfe will, dass du zwingend eine dritte Variante benützt. Geh doch einen
Schritt zurück so dass das Goal `A → B` ist."
Hint "**Robo**: Hier müsstest Du jetzt `rw [←h]` oder `apply h.mp` benutzen.
Geh lieber einen Schritt zurück, sodass das Goal `A → B` ist."
rcases h with ⟨mp, mpr⟩
Hint (hidden := true) "**Du**: Ah und jetzt ist das Resultat in den Annahmen."
Hint (hidden := true) "**Du**: Ah, und jetzt ist das Beweisziel in den Annahmen."
assumption
Conclusion
"
**Gehilfe**: Ah danke! Und jetzt versteh ich auch die Zusammenhänge!
**Operationsleiter**: Perfekt, das sollte reichen!
Der Arbeitskollegin der Mechanikerin, der die ganze Zeit gespannt zugehört hat, dreht sich zu
euch.
Er ist offensichtlich interessiert and existierenden Resultaten zu sein, aber offenbar
kann er nicht viel mit `apply` anfangen.
Er hat aber folgendes Resultat bereit:
**Operationsleiter**: Wieder etwas für den Kollegen …. Und er wollte wieder einen Beweise ohne `apply`. Ich sehe hier auch, dass ich mir schon einmal etwas hierzu notiert hatte. Richtig, es gibt da dieses Lemma:
```
lemma not_not (A : Prop) : ¬¬A ↔ A
```
und stellt euch folgende Frage:
**Operationsleiter**: Schafft Ihr das damit?
"
Statement (A B C : Prop) : (A ∧ (¬¬C)) ∨ (¬¬B) ∧ C ↔ (A ∧ C) ∨ B ∧ (¬¬C) := by
@ -33,17 +26,16 @@ Statement (A B C : Prop) : (A ∧ (¬¬C)) ∨ (¬¬B) ∧ C ↔ (A ∧ C) ∨ B
Hint "**Du**: Häh, wieso hat das jetzt 2 von 3 der `¬¬` umgeschrieben?
**Robo**: `rw` schreibt nur das erste um, das es findet, also `¬¬C`. Aber weil dieses
mehrmals vorkommt, werden die alle ersetzt…
mehrmals vorkommt, werden die alle ersetzt…
**Du**: Ah, und `¬¬B` ist was anderes, also brauch ich das Lemma nochmals."
**Du**: Ah, und `¬¬B` ist etwas anderes, also brauche ich das Lemma nochmals."
rw [not_not]
Conclusion
"
**Du**: Ah und wir sind fertig…?
**Du**: Wir sind schon fertig …?
**Robo**: Ja, `rw` versucht immer anschliessend `rfl` aufzurufen, und das hat hier
funktioniert.
**Robo**: Ja, `rw` versucht immer anschließend `rfl` aufzurufen, und das hat hier funktioniert.
**Operationsleiter**: Damit endet unsere Führung langsam. Bevor ihr weitergeht
habe ich noch ein Problem, an dem ich mir die Zähne ausbeisse. Wir haben die
Herleitung eines unserer Programme `imp_iff_not_or` verloren, und wissen nicht mehr
ob es einwandfrei funktioniert.
**Operationsleiter**: Ihr habt mir wirklich so geholfen! Hier ist das letzte Problem. Das habe ich von meinem Vorgänger geerbt. Er hat behauptet, wenn wir das lösen können, dann läuft hier wieder alles. Aber es sah mir immer viel zu schwierig aus, um es überhaupt zu versuchen. Wollt Ihr es einmal probieren?
**Du**: Nah gut, mal sehen. Robo, was hab ich denn alles hier gelernt?
**Du**: Klar, zeig her! Robo, kannst Du mir vielleicht auch noch einmal so eine nette Zusammenfassung anzeigen, was ich theoretisch in den letzten fünf Minuten gelernt habe?
**Robo**: Hier ist die Übersicht:
**Robo**: Hier ist die Übersicht:
## Notationen / Begriffe
@ -44,34 +41,35 @@ ob es einwandfrei funktioniert.
Statement imp_iff_not_or (A B : Prop) : (A → B) ↔ ¬ A ∨ B := by
constructor
Hint "**Du**: Das sieht kompliziert aus…
Hint "**Du** *(flüsternd)*: Ist das nicht die Definition von `→`?
**Robo** *(flüsternd)*: Ja, aber die Richtung kennst du ja schon also Lemma,
wend doch einfach das an."
**Robo** *(flüsternd)*: Könnte man so sehen. Aber auf Leansch ist das bloß eine Äquivalenz.
So oder so kennst du ja eine Richtung schon als Lemma.
Also wende das doch einfach an."
apply not_or_of_imp
Hint "**Du**: Gibt es für die Gegenrichtung auch ein Lemma?
**Robo**: Leider nicht. Da musst du manuell ran."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Na Implikationen fangst du immer mit `intro` an."
**Robo**: Leider nicht. Da musst Du manuell ran."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Na Implikationen gehst Du immer mit `intro` an."
intro h
intro ha
Hint (hidden := true) "**Robo**: Ich wür mal die Annahme `h` mit `rcases` aufteilen."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Ich würde mal die Annahme `h` mit `rcases` aufteilen."
rcases h with h | h
contradiction
assumption
DisabledTactic tauto
Conclusion "**Operationsleiter**: Damit gehen unsere Wege auseinander. Da fällt mir ein, seit
ihr auf dem Weg zu unserem Schwestermond?
Conclusion "**Operationsleiter**: Das ist ja fantastisch! Tausend Dank! Dann will ich Euch auch gar nicht länger aufhalten.
Ihr wollt bestimmt weiter zu Quantus, unserem Schestermond, oder?
**Du**: Könnten wir sein…
**Du**: Ehm, vielleicht …
**Operationsleiter**: Ich hab hier einen Brief für *Evenine*, könntet ihr diesen mit euch führen?
**Operationsleiter**: Dann habe ich noch eine letzte Bitte. Ich habe hier noch einen Brief für die Königin von Quantus! Auch schon von meinem Vorgänger geerbt. Die Post will ihn nicht annehmen, weil ich die Adresse nicht weiß. Könntet Ihr ihn vielleicht zu ihr mitnehmen?
**Du**: Klar! Robo, halt den mal.
**Du**: Klar! Robo, halt mal.
Robo nimmt den Brief und lässt ihn irgendwo in seinem Innern verschwinden. Dabei bemerkt er
den besorgten Blick des Operationsleiters.
Robo nimmt den Brief und lässt ihn irgendwo in seinem Innern verschwinden.
Marcus Zibrowius
3 years ago