levels and custom induction
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Jon Eugster
@@ -43,24 +43,25 @@ In diesem Kapitel lernen wir endliche Summen und mehr Übungen zur Induktion.
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open BigOperators
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Statement (n : ℕ) : (∑ i : Fin n, (0 + 0)) = 0 := by
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Hint "BUG"
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Hint "
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**Du**: Oh das ist ganz schön viel neues… Mal sehen, das sagt wohl
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$( \\sum_i 0 + 0 ) = 0$. Dann ist das vielleicht doch nicht so komplex.
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-- TODO (Bug): Invalid escape sequence:
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-- "**Du**: Oh das ist ganz schön viel neues… Mal sehen, das sagt wohl
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-- $( \\sum_i 0 + 0 ) = 0$. Dann ist das vielleicht doch nicht so komplex.
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**Robo**: Genau! Man schreibt `\\sum`. Beachte den Index:
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$( \\sum_\{i=0}^\{n-1} 0 + 0 ) = 0$, also `Fin n` ist ein Typ mit den Elementen
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$(0, \\ldots, n-1)$.
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-- **Robo**: Genau! Man schreibt `\\sum`. Beachte den Index:
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-- $( \\sum_\{i=0}^\{n-1} 0 + 0 ) = 0$, also `Fin n` ist ein Typ mit den Elementen
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-- $\\{0, \\ldots, n-1\\}$.
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**Du**: Oke, also `Fin n` hat `n` Elemente. Und was mach ich jetzt?
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-- **Du**: Oke, also `Fin n` hat `n` Elemente. Und was mach ich jetzt?
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**Robo**: `simp` ist eine ganz starke Taktik, die viele Terme vereinfacht, wir
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fangen besser an, diese zu benützen.
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-- **Robo**: `simp` ist eine ganz starke Taktik, die viele Terme vereinfacht, wir
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-- fangen besser an, diese zu benützen.
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-- Irgendwie hast du das Gefühl ein Déjà-vue zu haben…"
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Irgendwie hast du das Gefühl ein Déjà-vue zu haben…"
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simp
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OnlyTactic simp
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LemmaTab "Sum"
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Conclusion "**Unbekannte**: Sehr gut, folgt mir!"
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-- TODO: Cannot write $\\{0\\}$ inside a hint.
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@@ -4,6 +4,7 @@ import Adam.ToBePorted
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import Mathlib
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set_option tactic.hygienic false
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open Finset
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Game "Adam"
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World "Sum"
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@@ -22,21 +23,21 @@ open BigOperators
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Statement
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"$\\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1) = n + \\sum_{i=0}^{n-1} i$."
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(n : ℕ) : ∑ i : Fin n, ((i : ℕ) + 1) = n + (∑ i : Fin n, (i : ℕ)) := by
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-- Hint "**Du**: Hmm, wieder `simp`?
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Hint "**Du**: Hmm, wieder `simp`?
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-- **Robo**: Nicht ganz. `simp` benützt nur Lemmas, die klar eine Vereinfachung darstellen,
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-- und in deiner Bibliothek mit `@[simp]` markiert wird. Hier brauchen wir eine andere
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-- Umformung:
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**Robo**: Nicht ganz. `simp` benützt nur Lemmas, die klar eine Vereinfachung darstellen,
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und in deiner Bibliothek mit `@[simp]` markiert wird. Hier brauchen wir eine andere
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Umformung:
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-- $$
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-- \\sum_\{i = 0}^n a_i + b_i = \\sum_\{i = 0}^n a_i + \\sum_\{j = 0}^n b_j
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-- $$
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$$
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\\sum_\{i = 0}^n a_i + b_i = \\sum_\{i = 0}^n a_i + \\sum_\{j = 0}^n b_j
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$$
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-- **Robo*: Da unklar ist, welche Seite \"einfacher\" ist, wird so ein Lemma nicht mit
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-- `@[simp]` markiert. Das heisst du musst `Finset.sum_add_distrib` mit `rw`
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-- explizit anwenden.
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-- "
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rw [Finset.sum_add_distrib]
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**Robo**: Da unklar ist, welche Seite \"einfacher\" ist, wird so ein Lemma nicht mit
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`@[simp]` markiert. Das heisst du musst `sum_add_distrib` mit `rw`
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explizit anwenden.
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"
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rw [sum_add_distrib]
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Hint "**Robo**: Die zweite Summe `∑ x : Fin n, 1` kann jetzt aber mit
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`simp` zu `n` vereinfacht werden."
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simp
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@@ -49,6 +50,7 @@ Statement
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ring
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NewLemma Finset.sum_add_distrib add_comm
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LemmaTab "Sum"
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Conclusion "Eure Begleitung scheint mit der Antwort zu frieden zu sein und zeigt
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freudig an dem Turm empor, den ihr soeben erreicht habt."
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@@ -25,6 +25,8 @@ einmal Daten verarbeitet. Und die antwort auf deine Frage: Vermutlich ein Stein
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dem anderen.
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"
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open Fin
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open BigOperators
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Statement arithmetic_sum
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@@ -34,17 +36,18 @@ Statement arithmetic_sum
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wie zeige ich denn die arithmetische Summe, die hier gekritzelt steht?
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Ich würde gerne Induktion über $n$ anwenden.
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**Robo**: Ja dann ist's einfach `induction n`, ist doch logisch!"
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induction n
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**Robo**: Ja dann ist's einfach `induction n with d hd`! Der `with d hd` teil ist
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Optional und hilft dir die Induktionsvariable und -hypothese zu benennen."
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induction n with d hd
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Hint "**Du**: Zuerst den Induktionsanfang…
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**Robo**: Diesen kannst du oft mit `simp` abkürzen!"
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simp
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Hint "**Robo**: Jetzt im Induktionsschritt: Bei Induktion über endlichen Summen willst du
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immer mit `rw [Fin.sum_univ_castSucc]` anfangen" -- :
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immer mit `rw [sum_univ_castSucc]` anfangen" -- :
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-- $$\\sum_\{i=0}^n a_i = \\sum_{i=0}^\{n-1} a_i + a_n$$"
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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rw [sum_univ_castSucc]
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-- TODO: Bug. Dieser Hint wird nicht angezeigt.
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Hint "**Du**: Oh das sieht jetz aber kompliziert aus…
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@@ -63,27 +66,31 @@ Statement arithmetic_sum
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Hint "**Du**: Und wie wende ich jetzt die Induktionshypothese an?
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**Robo mit `rw` wie jede andere Annahme auch."
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rw [n_ih]
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Hint "**Robo**: Jetzt musst du noch kurz `rw [Nat.succ_eq_add_one]` anwenden.
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rw [hd]
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Hint "**Du**: Der Rest ist einfach Rechnerei.
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**Du**: Aber wieso?
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**Robo**: Dann wir `ring` wohl keine Probleme haben."
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-- Hint "**Robo**: Jetzt musst du noch kurz `rw [Nat.succ_eq_add_one]` anwenden.
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**Robo**: Naja, `ring` ist jetzt auch noch nicht so stark, und erkennt nicht dass `n.succ`
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und `n + 1` das gleiche sind.
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-- **Du**: Aber wieso?
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**Du**: Aber das könnte man doch ändern, oder?
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-- **Robo**: Naja, `ring` ist jetzt auch noch nicht so stark, und erkennt nicht dass `n.succ`
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-- und `n + 1` das gleiche sind.
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**Robo**: Vielleicht wenn wir einmal einem Techniker begegnen, der mir ein Update
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einspielen kann…"
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Branch
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ring_nf
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Hint "**Robo**: Wie gesagt, brauch doch `rw [Nat.succ_eq_add_one]` als Fix für meine
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kleinen Maken."
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rw [Nat.succ_eq_add_one]
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-- **Du**: Aber das könnte man doch ändern, oder?
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-- **Robo**: Vielleicht wenn wir einmal einem Techniker begegnen, der mir ein Update
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-- einspielen kann…"
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-- Branch
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-- ring_nf
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-- Hint "**Robo**: Wie gesagt, brauch doch `rw [Nat.succ_eq_add_one]` als Fix für meine
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-- kleinen Maken."
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-- rw [Nat.succ_eq_add_one]
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ring
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NewTactic induction
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NewLemma Fin.sum_univ_castSucc Nat.succ_eq_add_one mul_add add_mul Nat.zero_eq
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LemmaTab "Sum"
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Conclusion "Du schaust dich um und bewunderst das Tal in dem hunderte, wenn nicht tausende,
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Steintürme in allen Formen und Höhen stehen."
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@@ -18,6 +18,8 @@ Du gehst zu einem etwas kleineren Nachbarsturm.
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"
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set_option tactic.hygienic false
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open Fin
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open BigOperators
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Statement odd_arithmetic_sum
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@@ -26,8 +28,12 @@ Statement odd_arithmetic_sum
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Hint "**Robo**: Das funktioniert genau gleich wie zuvor, viel Glück."
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induction n
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simp
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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Hint (hidden := true) "Den Induktionschritt mit Summen willst du
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eigentlich immer mit `rw [sum_univ_castSucc]` beginnen."
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rw [sum_univ_castSucc]
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simp
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rw [n_ih]
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rw [Nat.succ_eq_add_one]
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--rw [Nat.succ_eq_add_one]
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ring
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LemmaTab "Sum"
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@@ -9,6 +9,7 @@ import Adam.Options.ArithSum
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set_option tactic.hygienic false
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open BigOperators
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open Finset
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Game "Adam"
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World "Sum"
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@@ -35,10 +36,11 @@ Statement
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**Du**: Hast du nicht ein Lemma dafür?
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**Robo**: Doch, probier mal `Finset.sum_comm`."
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**Robo**: Doch, probier mal `sum_comm`."
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rw [Finset.sum_comm]
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NewLemma Finset.sum_comm
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LemmaTab "Sum"
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Conclusion "
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Euer Begleiter ist ganz begeistert als er dir das Stück Papier aus den Händen nimmt,
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@@ -38,6 +38,8 @@ Da löst sich aus der Steinlandschaft plötzlich ein grosser Steingolem. Er scha
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bedrohlich an und fragt in tiefer Stimme:
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"
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open Fin
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open BigOperators
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Statement (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ))^2 := by
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@@ -45,7 +47,7 @@ Statement (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1),
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induction m
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Hint "**Du**: Also den Induktionsanfang kann man einfach zeigen…"
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simp
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Hint "**Robo**: Und jetzt wieder `rw [Fin.sum_univ_castSucc]` und `simp` um vorwärts zu
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Hint (hidden := true) "**Robo**: Und jetzt wieder `rw [sum_univ_castSucc]` und `simp` um vorwärts zu
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kommen!"
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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simp
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@@ -56,9 +58,9 @@ Statement (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1),
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Der Golem schaut dich finster an.
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**Robo**: Du willst `Fin.sum_univ_castSucc` auf der rechten Seite anwenden, aber es
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**Robo**: Du willst `sum_univ_castSucc` auf der rechten Seite anwenden, aber es
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gibt mehrere Orte, wo das Lemma passen würde.
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Deshalb musst du mit `rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := {n} + 1)]` angeben, wo genau.
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Deshalb musst du mit `rw [sum_univ_castSucc (n := {n} + 1)]` angeben, wo genau.
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**Du**: Was bedeutet das?
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@@ -83,9 +85,10 @@ Statement (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1),
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ring
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NewLemma arithmetic_sum add_pow_two
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LemmaTab "Sum"
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Conclusion "Der Golem denkt ganz lange nach, und ihr bekommt das Gefühl, dass er gar nie
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aggressive war, sondern nur eine sehr tiefe Stimme hat.
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aggressiv war, sondern nur eine sehr tiefe Stimme hat.
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Mit einem kleinen Erdbeben setzt er sich hin und winkt euch dankend zu.
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Reference in New Issue
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