import Adam.Metadata
import Mathlib.Tactic.PushNeg
import Mathlib

import Mathlib.Algebra.Parity

import Adam.ToBePorted

Game "Adam"
World "Predicate"
Level 9

Title "PushNeg"

Introduction
"
Nach langem Hin und Her einigen sie sich schließlich auf folgende Frage:
"

-- Zum Schluss, immer wenn man irgendwo eine Verneinung `¬∃` oder `¬∀` sieht (`\\not`), kann man
-- mit `push_neg` das `¬` durch den Quantor hindurchschieben.

-- Das braucht intern die Lemmas

-- - `not_exists (A : Prop) : ¬ (∃ x, A) ↔ ∀x, (¬A)`
-- - `not_forall (A : Prop) : ¬ (∀ x, A) ↔ ∃x, (¬A)`

-- (welche man auch mit `rw` explizit benutzen könnte.)

open Nat

Statement : ¬ ∃ (n : ℕ), ∀ (k : ℕ) , Odd (n + k) := by
  Hint "**Du**: Ich würde gern diese Negation `¬` am Quantor vorbeischieben.

  **Robo**: `push_neg` macht genau das!  Oder Du könntest `rw` mit den folgenden Lemmas verwenden:

  ```
  not_exists (A : Prop) : ¬ (∃ x, A) ↔ ∀x, (¬A)
  not_forall (A : Prop) : ¬ (∀ x, A) ↔ ∃x, (¬A)
  ```
  "
  Branch
    unfold Odd
    push_neg
    Hint "**Robo**: Dieser Lösungsweg scheint mir etwas zu schwierig. 
    Ich würde nochmal zurückgehen und schauen,
    dass Du irgendwie `¬Odd` erhältst.
    Das kannst Du dann mit `rw [←even_iff_not_odd]`
    zu `Even` umwandeln."
  push_neg
  intro n
  Hint "**Robo**: Jetzt brauchst Du eine Zahl mit `use`, und danach vermutlich das Lemma `←even_iff_not_odd` brauchen.

  **Du**: Könnte ich jetzt schon `rw [←even_iff_not_odd]` anwenden?

  **Robo**: Nee, `rw` kann nicht innerhalb von Quantoren umschreiben.

  **Du**: Aber wie würde ich das machen?

  **Robo**: Zeig ich dir später, nicht hier vor großem Publikum.
  Ich würde jetzt lieber mit `use` eine richtige Zahl angeben, und danach umschreiben."
  Branch
    use n + 2
    Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst Du `←even_iff_not_odd` verwenden."
  Branch
    use n + 4
    Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst Du `←even_iff_not_odd` verwenden."
  use n
  Hint "**Robo**: Gute Wahl! Jetzt kannst Du `←even_iff_not_odd` verwenden."
  rw [←even_iff_not_odd]
  unfold Even
  use n
  --ring

Conclusion "Die Formalosophinnen sind ganz begeistert.  
Nachdem sich der Beifall gelegt hat, hast Du auch einmal eine Frage.

**Du**: Kann uns hier irgendjemand vielleicht ein bisschen Orientierung im Formaloversum geben?

**Alle**:  Ja, ja.  

**Du**:  Wer denn?

Die Frage war wieder zu konkret.  Betretenes Schweigen.

**Robo**:  Lass nur.  Ich schlage vor, wir machen als nächstes einen Ausflug auf den Asteroiden da drüben.  Und bevor Du fragst – hier ist wieder ein Überblick, was Du auf diesem Planeten gelernt hast.

|               | Beschreibung                |
|:--------------|:----------------------------|
| `ℕ`           | Die natürlichen Zahlen.     |
| `∃`           | Existential-Quantifier      |
| `∀`           | Forall-Quantifier           |
| `Even n`      | `n` ist gerade              |
| `Odd n`       | `n` ist ungerade            |

|       | Taktik                    | Beispiel                                               |
|:------|:--------------------------|:-------------------------------------------------------|
| *12ᶜ* | `rw`                      | Umschreiben mit Gleichungen.                           |
| 13    | `ring`                    | Löst Gleichungen mit `+, -, *, ^`.                     |
| 14    | `unfold`                  | Setzt visuell die Bedeutung einer Definition ein.      |
| 15    | `use`                     | Um ein `∃` im Goal anzugehen.                          |
| *7ᶜ*  | `rcases h with ⟨x, hx⟩`   | Um ein `∃` in den Annahmen zu zerlegen.                |
| *8ᵇ*  | `intro`                   | Um ein `∀` im Goal anzugehen.                          |
| 16    | `push_neg`                | Für `¬∃` und `¬∀` im Goal.                             |

"

NewTactic push_neg
NewLemma Nat.even_iff_not_odd Nat.odd_iff_not_even not_exists not_forall