import TestGame.Metadata
import Std.Tactic.RCases

set_option tactic.hygienic false

Game "TestGame"
World "TestWorld"
Level 13

Title "Und"

Introduction
"
Das logische UND `A ∧ B` (`\\and`) funktioniert sehr ähnlich zum Iff (`↔`).
Grund dafür ist, dass `A ∧ B` auch eine Struktur aus zwei Teilen `⟨A, B⟩` ist.

Man can also genau gleich `constructor` und `rcases` anwenden, ebenso kann man
`.1` und `.2` für die Einzelteile brauchen, diese heissen lediglich
`h.left` und `h.right` anstatt `.mp` und `.mpr`.
"

Statement
    (A B : Prop) : (A ∧ (A → B)) ↔ (A ∧ B) := by
  constructor
  intro h
  rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
  constructor
  assumption
  apply h₂
  assumption
  intro h
  rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
  constructor
  assumption
  intro
  assumption

Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) ↔ A ∧ B =>
"`↔` oder `∧` im Goal kann man mit `constructor` aufteilen."

-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ (A → B)) : A ∧ B =>
"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ (A → B)` mit `rcases` aufteilen."

-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A ∧ (A → B) =>
"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ B` mit `rcases` aufteilen."

Message (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : A ∧ B =>
"Wieder in Einzelteile aufteilen..."

Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) =>
"Immer das gleiche ... noch mehr aufteilen."

Message (A : Prop) (B : Prop) (h₁: A) (h₂: B) : A → B =>
"Das ist jetzt vielleicht etwas verwirrend: Wir wollen die Implikation `A → B` zeigen,
wissen aber, dass `B` immer wahr ist (habe eine Annahme der Form `(hB : B)`).

Mit intro können wir einfach nochmal annehmen, dass `A` wahr ist. Es stört uns nicht,
dass wir das schon wissen und auch gar nicht brauchen. Damit müssen wir nur noch zeigen,
dass `B` wahr ist."

Hint (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : B =>
"Sieht nach einem Fall für `apply` aus."


-- TODO


Tactics apply rcases
Tactics assumption
