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import TestGame.Metadata
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import Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin
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import Mathlib.Tactic.Ring
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Game "TestGame"
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World "Sum"
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Level 3
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Title "Arithmetische Summe"
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Introduction
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"
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Oft beweist man Aussagen über Summen am besten per Induktion.
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Eines der wichtigsten Lemmas für den Induktionsschritt ist
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`Fin.sum_univ_castSucc`, welches
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$\\sum_{i=0}^{n} a_i = \\sum_{i=0}^{n-1} a_i + a_n$ umschreibt.
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**Bemerkung:**
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Eine technische Sonderheit ist der kleine Pfeil `↑` in `∑ i : Fin (n + 1), ↑i`.
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Da `i : Fin n` technisch keine natürliche Zahl ist (sondern vom Typ `Fin n`), muss man
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dieses zuerst mit `↑i` oder `(i : ℕ)` in eine natürliche Zahl umwandeln. Diese nennt man
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*Coersion*.
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Gleichermassen, kommen hier im Induktionsschritt die Terme `↑(↑Fin.castSucc.toEmbedding i)`
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und `↑(Fin.last (n + 1))` vor. Diese Terme können mit `simp` vereinfacht werden.
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"
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-- Note: I don't want to deal with Nat-division, so I stated it as `2 * ... = ...` instead.
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set_option tactic.hygienic false
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open BigOperators
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Statement arithmetic_sum
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"Zeige $2 \\cdot \\sum_{i = 0}^n i = n \\cdot (n + 1)$."
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(n : ℕ) : 2 * (∑ i : Fin (n + 1), ↑i) = n * (n + 1) := by
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induction' n with n hn
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simp
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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rw [mul_add]
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simp
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rw [hn]
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rw [Nat.succ_eq_add_one]
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ring
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NewTactics ring
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NewLemmas Fin.sum_univ_castSucc Nat.succ_eq_add_one mul_add add_mul
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Hint (n : ℕ) : 2 * (∑ i : Fin (n + 1), ↑i) = n * (n + 1) =>
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"Als Erinnerung, einen Induktionsbeweis startet man mit `induction n`."
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Hint (n : ℕ) : 2 * ∑ i : Fin (0 + 1), ↑i = 0 * (0 + 1) =>
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"Den Induktionsanker $n = 0$ kann `simp` oft beweisen."
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Hint (n : ℕ) (hn : 2 * ∑ i : Fin (n + 1), ↑i = n * (n + 1)) :
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2 * ∑ i : Fin (Nat.succ n + 1), ↑i = Nat.succ n * (Nat.succ n + 1) =>
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"Den Induktionsschritt beginnt man oft mit `rw [Fin.sum_univ_castSucc]`."
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-- Hint (n : ℕ) (hn : 2 * ∑ i : Fin (n + 1), ↑i = n * (n + 1)) :
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-- 2 * (∑ i : Fin (n + 1), ↑(Fin.castSucc.toEmbedding i) +
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-- ↑(Fin.last (n + 1))) = Nat.succ n * (Nat.succ n + 1) =>
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-- "Die Taktik `simp` vereinfacht `↑(↑Fin.castSucc.toEmbedding i)`. "
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Hint (n : ℕ) (hn : 2 * ∑ i : Fin (n + 1), ↑i = n * (n + 1)) :
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2 * (∑ x : Fin (n + 1), ↑x + (n + 1)) = Nat.succ n * (Nat.succ n + 1) =>
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"Um Die Induktionshypothese anzuwenden muss man noch
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$$2 \\cdot ((\\sum_{x=0}^n x) + (n + 1)) = 2 \\cdot \\sum_{x=0}^n x + 2 \\cdot (n + 1))$$
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umschreiben. Dazu kannst du `mul_add` benützen.
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"
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Hint (n : ℕ) (hn : 2 * ∑ i : Fin (n + 1), ↑i = n * (n + 1)) :
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2 * ∑ x : Fin (n + 1), ↑x + 2 * (n + 1) = Nat.succ n * (Nat.succ n + 1) =>
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"Jetzt kann die Induktionshypothese mit `rw` angewendet werden."
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Hint (n : ℕ) (hn : 2 * ∑ i : Fin (n + 1), ↑i = n * (n + 1)) :
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n * (n + 1) + 2 * (n + 1) = Nat.succ n * (Nat.succ n + 1) =>
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Im Moment muss man hier `ring` noch helfen,
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indem man mit `rw [Nat.succ_eq_add_one]` zuerst `Nat.succ n = n + 1` umschreibt.
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(Dies wird irgendwann noch gefixt)
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