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import Adam.Metadata
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import Mathlib
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Game "Adam"
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World "Function"
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Level 9
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Title "Inverse"
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Introduction
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"
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Eigentlich hast du nur beiläufig Robo gefragt, ob bijektiv nicht auch bedeute, dass
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eine Inverse Funktion bestehe. Jetzt steht ihr aber schon seit einer halben Stunde rum
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und der Gelehrte möchte wissen, wie das den genau ginge.
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Offensichtlich kennt er diese Aussage als `Function.bijective_iff_has_inverse` aus seinen Büchern,
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aber er möchte, dass Du ihm das hier und jetzt nochmals von Grund auf zeigst.
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"
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open Function
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--TODO: This is a really hard proof
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Statement bijective_iff_has_inverse "" {A B : Type} (f : A → B) :
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Bijective f ↔ ∃ g, LeftInverse g f ∧ RightInverse g f := by
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constructor
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intro h
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use fun x => (h.2 x).choose
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constructor
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· intro x
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simp
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apply h.1
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apply Exists.choose_spec (h.2 (f x))
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· intro x
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simp
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apply Exists.choose_spec (h.2 x)
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intro ⟨g, h₁, h₂⟩
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constructor
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· intro a b hab
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have h : g (f a) = g (f b)
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· apply congrArg
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assumption
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rw [h₁, h₁] at h
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assumption
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· intro x
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use g x
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rw [h₂]
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NewDefinition LeftInverse RightInverse
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NewLemma Exists.choose Exists.choose_spec congrArg congrFun
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DisabledLemma Function.bijective_iff_has_inverse
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Hint {A B : Type} (f : A → B) : Bijective f ↔ ∃ g, LeftInverse g f ∧ RightInverse g f =>
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"**Du**: Nah da sagt mir so manches nichts, aber ich kann ja mal mit dem `↔` anfangen, das kenn
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ich ja schon."
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Conclusion
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"Endlich entkommt ihr der Bibliothek.
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**Robo**: Da würden mich keine zehn Pferde nochmals hineinbringen!
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**Du**: Von wegen Pferden, wie viele PS hat eigentlich unser Raumschiff?"
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