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import Adam.Metadata
import Adam.Options.MathlibPart
Game "Adam"
World "SetFunction"
Level 1
Title ""
open Set
set_option tactic.hygienic false
Introduction
"
Das Bild einer Funktion ist eine Menge, die als `f '' S` geschrieben wird.
In der Mathe ist das normalerweise als $f(S)$ geschrieben.
Mit `ext i` kann man Gleichheit von Mengen angehen.
"
-- Wenn man mit Abildungen auf Mengen arbeitet, muss man in Lean etwas aufpassen, um
-- die Typen (z.B. `(U : Type _)`) und Mengen von diesen Typen (z.B. `(S : Set U)`)
-- zu unterscheiden.
-- Abbildungen sind prinzipiell immer auf Typen definiert. Wenn eine Funktion nicht
-- auf dem ganzen Typen definiert ist, hat man prinzipiell zwei Optionen:
-- 1. Nach dem Motto \"Junk in, junk out\" werden in der Mathlib Funktionen
-- oft einfach auf irgendwas gesetzt wenn sie nicht definiert sind, so gibt `1 / 0` in `ℕ`
-- einfach `0`. Dies funktioniert, weil dann alle relevanten Theoreme, die von `x / n`
-- handeln, dann Annahmen der Form `(h : n ≠ 0)` haben.
-- 2. Man kann auch Funktionen auf *Subtypen* definieren, also z.B. auf `ℕ+`.
-- /- Image of Union -/
-- lemma image_unionₓ
Statement
""
(S T : Set ℕ) (f : ℕ → ℕ) : (f '' S) ∪ (f '' T) = f '' (S ∪ T) := by