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import Adam.Metadata
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import Mathlib
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Game "Adam"
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World "Function"
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Level 2
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Title "let"
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Introduction
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"
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Ihr macht euch auf Richtung Bibliothek entlang kleiner Pfade zwischen verschiedenster Behausungen.
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**Du**: Sag mal, ich weiss jetzt dass ich eine Funktion als `fun x ↦ x - 1` definieren kann,
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aber wie kann ich der einen Namen geben?
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**Robo**: Wenn jemand hier eine Funktion definiert, werden die dir
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`def f (x : ℤ) : ℤ := x - 1` oder `def f : ℤ → ℤ := (fun x ↦ x - 1)` geben.
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**Du**: Und das bedeutet beides das gleiche?
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**Robo**: Praktisch, ja. Aber! Wenn du eine Funktion in einer Aufgabe benennen willst,
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schreibst du `let f := fun (x : ℤ) ↦ x - 1`!
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**Du**: Und was ist der Unterschied?
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**Robo**: Deines mit `let` ist für innerhalb von einem Beweis, das andere mit `def`
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ist für ausserhalb von einem Beweis. Hier, ich geb dir mal eine Aufgabe:
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```
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def f (x : ℤ) : ℤ := (x + 4)
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```
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und:
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"
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def f (x : ℤ) : ℤ := (x + 4)
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Statement "" (x : ℤ) : ∃ (g : ℤ → ℤ), (g ∘ f) x = x + 1 := by
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let g := fun (x : ℤ) ↦ x - 3
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use g
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simp
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unfold f
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ring
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NewTactic «let»
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NewLemma Function.comp_apply
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Hint (x : ℤ) : ∃ g, (g ∘ f) x = x + 1 =>
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"**Du**: Ist `g ∘ f` Komposition von Funktionen?
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**Robo**: Richtig! Das schreibt man mit `\\comp`.
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**Du** Und hier könnte ich also zuerst
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`let g := fun (x : ℤ) ↦ _` definieren, anstatt direkt
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`use fun (x : ℤ) ↦ _`?
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**Robo**: Genau! Das ist zwar praktisch das gleiche, aber kann manchmal nützlich sein.
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"
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-- TODO: Make some hints work here
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Hint (x : ℤ) : ((fun (x : ℤ) ↦ x - 3) ∘ f) x = x + 1 =>
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"**Robo**: Manchmal must du nachhelfen und Funktionen mit `unfold f` öffnen, manchmal nicht.
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Um erlich zu sein, sagt mein Programm nicht genau wann man das machen muss…"
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-- TODO : Make this work
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Hint (x : ℤ) (g := (fun (x : ℤ) ↦ x - 3)) : (g ∘ f) x = x + 1 =>
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"**Robo**: `(g ∘ f) x` ist per Definition `g (f x)`, aber mit
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`rw [Function.comp_apply]` kann man das explizit umschreiben, aber `simp` kennt das
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Lemma auch."
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Hint (x : ℤ) : f x - 3 = x + 1 =>
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"**Robo**: Manchmal must du nachhelfen und Definitionen mit `unfold f` öffnen, mamchmal klappts
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ohne.
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Um erlich zu sein, sagt mein Programm nicht genau wann man das machen muss…"
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-- TODO: Block simp-Lemma
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Conclusion "**Du**: Dann verstehst du etwas Mathe?
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**Robo**: Ich hatte ja keine Ahnung ob die generierte Aufgabe beweisbar ist…
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Und damit erreicht ihr den Hügel mit der Bibliothek."
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