|
|
import Adam.Metadata
|
|
|
import Std.Tactic.RCases
|
|
|
import Mathlib.Tactic.Contrapose
|
|
|
import Mathlib.Tactic.Use
|
|
|
import Mathlib.Tactic.Ring
|
|
|
|
|
|
import Adam.ToBePorted
|
|
|
|
|
|
Game "Adam"
|
|
|
World "Contradiction"
|
|
|
Level 5
|
|
|
|
|
|
Title "Kontraposition"
|
|
|
|
|
|
Introduction
|
|
|
"
|
|
|
*Oddeus* reicht euch das Papier.
|
|
|
|
|
|
**Du**: Da steht etwas über `contrapose` hier…
|
|
|
|
|
|
**Oddeus**: Das ist doch klar eine Aggression uns gegenüber!
|
|
|
|
|
|
**Robo**: Wartet mal, vielleicht wollte euch eure Schwester einfach von ihren neuen
|
|
|
Endeckungen zeigen. Schaut, darunter ist eine Aufgabe.
|
|
|
"
|
|
|
|
|
|
-- Ein Beweis durch Kontraposition benützt im Grunde das eben bewiesene Lemma
|
|
|
|
|
|
-- ```
|
|
|
-- lemma not_imp_not (A B : Prop) : (A → B) ↔ (¬ B → ¬ A) := by
|
|
|
-- [...]
|
|
|
-- ```
|
|
|
|
|
|
-- Dazu gibt es die Taktik `contrapose`, welche eine Implikation im Goal
|
|
|
-- entsprechend umdreht.
|
|
|
|
|
|
-- Wir erinnern hier an die Taktik `revert h`, die aus der Annahme `h` eine Implikation
|
|
|
-- im Goal erstellt.
|
|
|
|
|
|
-- Im Gegensatz dazu kann man auch einen Beweis durch Kontraposition führen.
|
|
|
-- Das ist kein Widerspruch, sondern benützt dass `A → B` und `(¬ B) → (¬ A)`
|
|
|
-- logisch equivalent sind.
|
|
|
|
|
|
-- Wenn das Goal eine Implikation ist, kann man `contrapose` anwenden.
|
|
|
open Nat
|
|
|
|
|
|
Statement (n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)): Odd n := by
|
|
|
Hint "**Oddeus**: Wie soll das den gehen?
|
|
|
|
|
|
**Robo**: `contrapose` benutzt das Lemma eurer Gelehrter, `not_imp_not`. Also es wandelt
|
|
|
ein Goal `A → B` zu `¬B → ¬A ` um.
|
|
|
|
|
|
**Du**: Aber das Goal ist doch gar keine Implikation?
|
|
|
|
|
|
**Robo**: Mit `revert {h}` kannst du die Annahme `{h}` als Implikationsannahme ins Goal
|
|
|
schieben."
|
|
|
revert h
|
|
|
Hint "*Oddeus*: Ob man jetzt wohl dieses `contrapose` benutzen kann?"
|
|
|
contrapose
|
|
|
Hint (hidden := true) "**Du**: Warte mal, jetzt kann man wohl `even_iff_not_odd` verwenden…"
|
|
|
rw [← even_iff_not_odd]
|
|
|
rw [← even_iff_not_odd]
|
|
|
Hint "**Robo**: Und den Rest hast du bei *Evenine* als Lemma gezeigt!"
|
|
|
apply even_square
|
|
|
|
|
|
NewTactic contrapose
|
|
|
DisabledTactic by_contra
|
|
|
|
|
|
Conclusion "**Oddeus**: Ah ich sehe, die Aussage ist, dass wir das nur zusammen lösen konnten.
|
|
|
Ich danke euch, darauf wäre ich nie gekommen."
|