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import Adam.Metadata
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import Mathlib.Init.Set
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import Mathlib.Tactic.Tauto
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set_option tactic.hygienic false
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set_option autoImplicit false
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Game "Adam"
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World "SetTheory"
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Level 1
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Title "Mengen"
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Introduction
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"
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**Mengea**: Ich würde leider den Inhalt jenes Buches eh nicht verstehen. Aber der beste Weg für
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euch, dieses zu entschlüsseln ist, euch ausgiebig mit der Bevölkerung hier zu unterhalten.
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Lebt mit ihnen, redet mit ihnen und ihr werdet die Sprache automatisch lernen.
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**Mengea**: Seit aber vorgewarnt, die Leute hier denken ganz viel über Mengen nach,
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womit sie immer *homogene Mengen* meinen. Eine Menge natürlicher Zahlen `{1, 4, 6}` ist
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verständlich, aber sowas wie eine Menge `{(2 : ℕ), {3, 1}, \"e\", (1 : ℂ)}` gibt es hier
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einfach nicht. Punkt.
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**Robo**: Als Kontext: Wenn `A` ein beliebiger `Type` ist, dann ist `(U : Set A)` eine Menge
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mit Elementen aus `A`
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**Mengea**: Damit ich weiss, dass ihr euch grundsätzlich mit den Leuten austauschen könnt,
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erklärt mir doch folgendes:
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"
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open Set
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Statement mem_univ "" {A : Type} (x : A) : x ∈ (univ : Set A) := by
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Hint "**Du**: Also `A` ist ein `Type`, `x` ist ein Element in `A`…
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**Robo** … und `univ` ist die Menge aller Elemente in `A`.
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**Du** ist das nicht einfach `A` selber?
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**Robo** Fast, aber das eine ist ein `Type`, das andere eine Menge, also vom Typ `Set A`.
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**Du**: Unlogisch.
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**Mengites**: Naja, Typen und Mengen sind halt zwei unterschiedliche Sachen und wenn ihr
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über Mengen sprechen wollt, müssen alles Mengen sein.
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**Du**: Na gut. Und wieso `x ∈ univ` und nicht `x : univ` wie bei Typen?
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**Robo**: Jedes Element `(x : A)` hat entweder die Eigenschaft `x ∈ U` oder `x ∉ U` für eine
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Menge `(U : Set A)`. (`\\in`, `\\nin`)
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**Du**: Also das ist ja dann `trivial`. Hoffentlich sehen die das hier auch so…"
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trivial
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Conclusion "**Mengea**: Ja das stimmt schon. Dann wünsche ich euch viel Erfolg auf eurer Reise!"
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