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import Adam.Metadata
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import Adam.Levels.SetTheory.L03_Subset
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import Mathlib.Init.Set
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import Mathlib.Tactic.Tauto
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import Mathlib
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set_option tactic.hygienic false
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Game "Adam"
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World "SetTheory"
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Level 4
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Title "Teilmengen"
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Introduction
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"
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Etwas weiter kommt ihr an einem kleinen Gemüsestand vorbei. Da ihr nicht so
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richtig einen Plan habt, fragt ihr den Verkäufer.
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**Verkäufer**: Hier ist was ganz wichtiges, was ihr noch oft brauchen werdet:
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Ein zentrales Lemma ist `Subset.antisymm_iff` welches folgendes sagt:
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```
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lemma antisymm_iff {α : Type} {A B : Set α} : A = B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
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```
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Fast immer wenn man Gleichheiten von Mengen zeigen muss, will man diese in zwei Ungleichungen
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aufteilen.
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"
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namespace MySet
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open Set Subset
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-- Copied some lemmas from `Matlib.Data.Set.Basic` in order to not import the entire file.
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theorem tmp {α : Type _} {s t : Set α} : s = t → s ⊆ t :=
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fun h₁ _ h₂ => by rw [← h₁] ; exact h₂
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theorem Subset.antisymm_iff {α : Type _} {a b : Set α} : a = b ↔ a ⊆ b ∧ b ⊆ a :=
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⟨fun e => ⟨tmp e, tmp e.symm⟩, fun ⟨h₁, h₂⟩ => Set.ext fun _ => ⟨@h₁ _, @h₂ _⟩⟩
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@[simp]
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theorem empty_subset {α : Type _} (s : Set α) : ∅ ⊆ s :=
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fun.
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Statement subset_empty_iff {A : Type _} (s : Set A) :
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s ⊆ ∅ ↔ s = ∅ := by
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Hint "**Du**: Ja, die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge.
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Das ist doch eine Tautologie?
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**Robo**: Ja schon, aber zuerst einmal explizit."
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Hint (hidden := true) "**Robo**: Fang doch einmal mit `constructor` an."
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constructor
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intro h
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Hint "**Robo**: "
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apply Subset.antisymm
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assumption
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simp only [empty_subset]
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intro a
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rw [Subset.antisymm_iff] at a
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rcases a with ⟨h₁, h₂⟩
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assumption
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DisabledTactic tauto
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NewLemma Subset.antisymm Subset.antisymm_iff empty_subset
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end MySet
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