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import Adam.Metadata
import Mathlib.Data.Set.Basic
Game "Adam"
World "SetTheory"
Level 10
Title "Morgansche Regeln"
Introduction
"
Die De-Morgan'schen Regeln sagen `(A ∪
und `(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪
`compl_union` und `compl_inter`.
Zudem gibt es die Lemmas `mem_compl_iff : x ∈ Aᶜ ↔ x ∉ A` und
`not_mem_compl_iff`, mit welchen
man die de-Morganschen Regeln einfach selber beweisen könnten.
Die meisten Aufgaben über Mengen sind eine Kombination von `rw` und `simp_rw` verschiedenster
NewLemma in `import Mathlib.Data.Set`.
Die Taktik `simp_rw` funktioniert ähnlich wie `rw`, aber sie versucht jedes Lemma so oft
wie möglich anzuwenden. Wir kennen also 4 etwas verwandte Optionen um Lemmas und Theoreme zu
brauchen:
- `rw [lemma_A, lemma_B]`: führt jedes Lemma genau einmal aus in der Reihenfolge.
- `simp_rw [lemma_A, lemma_B]` : führt jedes Lemma in Reihenfolge so oft aus wie möglich.
- `simp only [lemma_A, lemma_B]` : sucht eine Kombination der beiden Lemmas, ohne bestimmte
Reihenfolge.
- `simp [lemma_A, lemma_B]` : Braucht die beiden Lemmas und alle simp-Lemmas.
"
open Set
#check compl_union
#check compl_inter
#check mem_compl_iff
Statement
""
(A B C : Set ℕ ∪
rw [←compl_union]
rw [←union_diff_distrib]
rw [diff_diff]
simp_rw [←compl_eq_univ_diff]
rw [←compl_inter]
rw [diff_eq_compl_inter]
rw [inter_comm]
NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
-- TODOs
-- Lemmas compl_union compl_inter mem_compl_iff