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import Adam.Metadata
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import Adam.ToBePorted
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import Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin
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import Mathlib.Tactic.Ring
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import Adam.ToBePorted
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import Adam.Options.ArithSum
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Game "Adam"
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World "Sum"
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Level 6
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set_option tactic.hygienic false
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Title "Zusammenfassung"
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Introduction
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"
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**Du**: Robo gib mir nochmals eine Übersicht, bitte.
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**Robo**: Aber klar:
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| | Beschreibung |
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|:---------------------|:------------------------------------------|
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| `Fin n` | Ist ein Typ mit Zahlen $0, \\ldots, n-1$. |
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| `∑ (i : Fin n), a i` | $\\sum_{i=0}^{n-1} a_i$ |
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| `↑i` | Eine Coersion, z.B. `Fin n → ℕ`. |
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und
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| | Taktik | Beispiel |
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|:---|:--------------------------|:-------------------------------------|
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| 21 | `simp` | Simplifikation. |
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| 22 | `induction n` | Induktion über $n$ |
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Da löst sich aus der Steinlandschaft plötzlich ein grosser Steingolem. Er schaut euch
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bedrohlich an und fragt in tiefer Stimme:
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"
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open BigOperators
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Statement (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ))^2 := by
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Hint "**Du**: Gulp. Naja das wird schon klappen. Also man fängt wieder mit Induktion an…"
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induction m
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Hint "**Du**: Also den Induktionsanfang kann man einfach zeigen…"
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simp
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Hint "**Robo**: Und jetzt wieder `rw [Fin.sum_univ_castSucc]` und `simp` um vorwärts zu
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kommen!"
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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simp
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Hint "**Robo**: Siehst du die Induktionshypothese hier drin?"
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rw [n_ih]
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Hint "**Du**: Ok, damit habe ich die linke Seite der Gleichung ziemlich gut bearbeitet.
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Aber, ehm, mit der Rechten komme ich nicht weiter…
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Der Golem schaut dich finster an.
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**Robo**: Du willst `Fin.sum_univ_castSucc` auf der rechten Seite anwenden, aber es
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gibt mehrere Orte, wo das Lemma passen würde.
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Deshalb musst du mit `rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := {n} + 1)]` angeben, wo genau.
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**Du**: Was bedeutet das?
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**Robo** Das Lemma hat eine Annahme `n` und du sagst ihm explizit, was es für dieses `n`
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einsetzen muss, nämlich `{n} + 1`"
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Branch
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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Hint "**Robo**: Das hat jetzt einfach `Fin.sum_univ_castSucc` am ersten Ort angewendet,
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wo das möglich war. Das ist nicht so ideal, die like Seite war schon okay.
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**Robo**: Geh doch zurück und bring `rw` dazu am anderen Ort umzuschreiben."
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := n + 1)]
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simp
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Hint "**Robo**: `add_pow_two` ist auch noch nützlich!"
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rw [add_pow_two]
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Hint "**Du**: Ich glaube, ich sehe hier ne arithmetische Summe drin!!
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**Robo**: Ich habe dir das dies von vorhin temporär als `arithmetic_sum` gespeichert,
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damit du diese brauchen kannst."
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rw [arithmetic_sum]
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Hint "**Du**: Jetzt sollten es eigentlich nur noch arithmetische Operationen sein."
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ring
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NewLemma arithmetic_sum add_pow_two
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Conclusion "Der Golem denkt ganz lange nach, und ihr bekommt das Gefühl, dass er gar nie
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aggressive war, sondern nur eine sehr tiefe Stimme hat.
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Mit einem kleinen Erdbeben setzt er sich hin und winkt euch dankend zu.
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Damit zieht ihr weiter durch die karge Landschaft auf diesem Planet."
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