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import TestGame.Metadata
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import Mathlib
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import TestGame.Options.BigOperators
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "LeanStuff"
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Level 4
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Title "Instanz-Argumente"
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Introduction
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"
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Bezüglich impliziten Argumente gibt es noch einige weitere Punkte oder Tricks,
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die man wissen sollte.
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* Instanz-Argumente wie `[Ring R]` sind auch impilzite Argumente. Der Unterschied ist, dass
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Lean einen anderen Mechanismus braucht, um diese zu füllen: Es sucht nach einer entsprechenden
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*Instanz* und, setzt die erste solche Instanz ein.
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Ausserhalb eines Beweises könnte man auch mit
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```
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#synth Ring ℤ
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```
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testen, ob Lean eine ensprechende Instanz findet. Instanzen werden dafür gebraucht, Typen
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mit (algebraischer) Stukturen zu versehen.
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* Ein `_` irgendwo im Lean-Code ist immer ein Platzhalter, den Lean versucht aus dem Kontext zu
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füllen. Das kann praktisch sein, wenn man etwas nicht ausschreiben will, das offensichtlich ist.
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* Mit `@` kann man forcieren, dass alle Argumente explizit sind.
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Für ein Lemma
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```
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lemma not_or_of_imp {A B : Prop} (h : A → B) :
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¬A ∨ B := sorry
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```
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heisst das zum Beispiel dass `not_or_of_imp g` das gleiche ist wie
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`@not_or_of_imp _ _ g`.
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Und `Fin.sum_univ_castSucc (n := m + 1)` könnte man auch als
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`@Fin.sum_univ_castSucc _ _ (m + 1)` schreiben.
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"
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open BigOperators
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Statement
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"Zeige $(\\sum_{i=0}^{m} i) + (m + 1) = \\sum_{i=0}^{m + 1} i$."
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(m : ℕ) :
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∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ) + (m + 1) = ∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i := by
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := m + 1)]
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rfl
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OnlyTactic rw rfl
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NewLemma Fin.sum_univ_castSucc
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Hint (m : ℕ) :
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∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ) + (m + 1) = ∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i =>
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"
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Probier nochmals das gleiche, diesmal mit
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```
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rw [@Fin.sum_univ_castSucc _ _ (m + 1)]
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```
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anstatt
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```
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := m + 1)]
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```
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"
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Hint (m : ℕ) :
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∑ i : Fin m, (Fin.castSucc.toEmbedding i : ℕ) + ↑(Fin.last m) + (m + 1) =
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∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i =>
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"Sackgasse!"
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Hint (m : ℕ) :
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∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ) + (m + 1) =
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∑ i : Fin (m + 1), ↑i + (m + 1) =>
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"Jetzt sind beide Seiten gleich und das Goal kann mit `rfl` geschlossen werden."
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