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import TestGame.Metadata
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import Mathlib.Data.Real.Basic -- definiert `ℝ`
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import Mathlib.Algebra.Module.Pi -- definiert `Module ℚ (fin 2 → ℚ)`
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import Mathlib.Data.Fin.VecNotation
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import Mathlib.Tactic.FinCases
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Module"
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Level 2
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Title "Konkrete Vektorräume"
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Introduction
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"
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Häufig in der linearen Algebra hat man ganz einfach Vektoren über `ℚ` oder `ℝ`
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und möchte diese explizit definieren.
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Reele Vektorräume definiert man in Lean am besten als Funktion von einem Indexset.
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So ist `Fin 2` eine Menge, die nur `0` und `1` enthält
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und `ℚ²` wird als `Fin 2 → ℚ` definiert. Hier machen wir uns eine
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lokale notation dafür:
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```
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notation `ℚ²` := Fin 2 → ℚ
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```
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Das mag auf den ersten Blick etwas unintuitiv erscheinen, hat aber den Vorteil,
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dass man die ganze
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Infrastruktur für Funktionen einfach direkt für Vektoren und
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Matrizen mitgebrauchen kann.
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Wir können uns auch noch ein paar andere standardmässige `ℚ`-Vektorräume definieren.
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```
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notation \"ℚ³\" => Fin 3 → ℚ
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notation \"ℚ^(\" n \")\" => (Fin n) → ℚ
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```
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Die schreibweise für einen Vektor ist `![ _, _ ]`. Zu beachten ist,
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dass man bei Zahlen explizit einen Typ angeben muss, sonst denkt sich
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Lean, man arbeite über `ℕ`.
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Um direkt Vektoroperationen über `ℚ` auszurechnen, kann man oft
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`#eval` benützen:
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#eval ![ (2 : ℚ), 5 ] + ![ 1/2, -7 ]
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zeigt `![5/2, -2]` an.
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Um eine Gleichheit in einem Beweis zu verwenden, muss man andere Taktiken
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benützen.
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Am hilfreichsten ist die kombination `funext i, fin_cases i`, die
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Dann eine Vektorgleichung komponentenweise aufteilt.
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Für jede Komponente kann man dann mit `simp` und `ring` weiterkommen.
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"
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notation "ℚ³" => Fin 3 → ℚ
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notation "ℚ^(" n ")" => (Fin n) → ℚ
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Statement
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""
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: ![ (2 : ℚ), 5 ] + ![ 1/2, -7 ] = ![5/2, -2] := by
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funext i
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fin_cases i <;>
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simp <;>
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ring
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NewTactics fin_cases funext
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