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import Adam.Metadata
import Mathlib.Data.Set.Basic
Game "Adam"
World "SetTheory"
Level 9
Title "Komplement"
Introduction
"
Das Komplement einer Menge wird als `Aᶜ` (`\\^c`) geschrieben. Wichtige Lemmas
sind `not_mem_compl_iff` und `compl_eq_univ_diff`.
"
open Set
Statement
""
(A : Set ℕ) (h : Aᶜ ⊆ A) : A = univ := by
Hint "Start doch mit `apply Subset.antisymm`."
apply Subset.antisymm
simp only [subset_univ]
Hint "Da `⊆` als `∀x, x ∈ A → x ∈ B ` definiert ist, fängst du
am besten mit `intro` an."
intros x hx
Hint "Eine Möglichkeit ist, eine Fallunterscheidung zu machen: `by_cases g: {x} ∈ {A}ᶜ`."
by_cases h4 : x ∈ Aᶜ
Hint "Hier könnte `mem_of_subset_of_mem` hilfreich werden."
apply mem_of_subset_of_mem h
assumption
Hint "Diese Richtung geben wir als Lemma: `not_mem_compl_iff`."