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import Adam.Metadata
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import Mathlib.Data.Set.Basic
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Game "Adam"
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World "SetTheory"
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Level 10
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Title "Morgansche Regeln"
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Introduction
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"
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Die De-Morgan'schen Regeln sagen `(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ`
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und `(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ` sind in Lean als
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`compl_union` und `compl_inter`.
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Zudem gibt es die Lemmas `mem_compl_iff : x ∈ Aᶜ ↔ x ∉ A` und
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`not_mem_compl_iff`, mit welchen
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man die de-Morganschen Regeln einfach selber beweisen könnten.
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Die meisten Aufgaben über Mengen sind eine Kombination von `rw` und `simp_rw` verschiedenster
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NewLemma in `import Mathlib.Data.Set`.
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Die Taktik `simp_rw` funktioniert ähnlich wie `rw`, aber sie versucht jedes Lemma so oft
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wie möglich anzuwenden. Wir kennen also 4 etwas verwandte Optionen um Lemmas und Theoreme zu
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brauchen:
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- `rw [lemma_A, lemma_B]`: führt jedes Lemma genau einmal aus in der Reihenfolge.
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- `simp_rw [lemma_A, lemma_B]` : führt jedes Lemma in Reihenfolge so oft aus wie möglich.
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- `simp only [lemma_A, lemma_B]` : sucht eine Kombination der beiden Lemmas, ohne bestimmte
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Reihenfolge.
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- `simp [lemma_A, lemma_B]` : Braucht die beiden Lemmas und alle simp-Lemmas.
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"
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open Set
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#check compl_union
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#check compl_inter
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#check mem_compl_iff
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Statement
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(A B C : Set ℕ) : (A \ B)ᶜ ∩ (C \ B)ᶜ = ((univ \ A) \ C) ∪ (univ \ Bᶜ) := by
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Hint "Oft kann es auch nützlich sein, mit `rw [← …]` rückwärts umzuschreiben.
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Der ganze Level ist mit `rw`/`simp_rw` und den Lemmas in deiner Bibliothek
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lösbar."
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rw [←compl_union]
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rw [←union_diff_distrib]
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rw [diff_diff]
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simp_rw [←compl_eq_univ_diff]
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rw [←compl_inter]
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rw [diff_eq_compl_inter]
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rw [inter_comm]
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OnlyTactic rw simp_rw tauto trivial assumption rfl «have» «suffices»
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NewTactic simp_rw
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LemmaTab "Set"
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NewLemma Set.mem_compl_iff Set.compl_union Set.diff_diff Set.compl_inter
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Set.diff_eq_compl_inter Set.inter_comm
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