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import Adam.Metadata
import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Algebra.Parity
import Mathlib.Tactic.Ring
import Adam.ToBePorted
Game "Adam"
World "SetTheory2"
Level 2
Title "Potenzmenge"
Introduction
"
Eine andere wichtige Menge ist die Potenzmenge einer Menge, welche als
`𝒫 A` geschrieben wird (`\\powerset`). Diese ist als `{S | S ⊆ A}` definiert, also
alle Mengen, die in $A$ enthalten sind.
Eines der wichtigsten Lemmas ist `mem_powerset_iff: x ∈ 𝒫 s ↔ x ⊆ s` welches
im Grunde die Definition einsetzt.
"
open Set
Statement
"" (X Y : Set ℕ):
𝒫 X ∪𝒫 Y ⊆ 𝒫 (X ∪ Y) := by
Hint "**Robo**: Fang mal mit `intro` an, wie das bei `⊆` fast immer der Fall ist."
intro A hA
Hint "**Robo**: Als nächstes must du noch die Annahme `{A} ∈ 𝒫 X ∪𝒫 Y` zu
`{A} ∈ (𝒫 X) ∨ {A} ∈ (𝒫 Y)` wechseln. Dafür kennst du schon ein Lemma."
rw [mem_union] at hA
Hint "**Robo**: Jetzt wär der Zeitpunkt um `mem_powerset_iff` mal überall anzuwenden."
simp_rw [mem_powerset_iff] at *
Hint "**Robo**: Jetzt kann `tauto` den rest übernehmen, vielleicht solltest du diese
Hilfe annehmen.
Wenn nicht, brauchst du vermutlich die Lemmas `Set.subset_union_of_subset_left`