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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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import Mathlib.Tactic.Contrapose
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import Mathlib.Tactic.Use
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import Mathlib.Tactic.Ring
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Game "TestGame"
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World "Quantors"
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Level 9
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Title "Kontraposition"
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Introduction
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"
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Häufig enthalten logische Aussagen die Quantoren \"für alle `x`\" und
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\"es existiert ein `x`, so dass\". In Lean schreibt man diese wie in der Mathe
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mit den Zeichen `∀` und `∃` (`\\forall`, `\\exists`):
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Beide können mehrere Variablen annehmen: `∃ (x : ℕ) (y : ℕ), x ^ 3 = 2 * y + 1` ist das selbe
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wie `∃ (x : ℕ), (∃ (y : ℕ), x ^ 3 = 2 * y + 1)`.
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Ein `∃ x, ..` in den Annahmen kann man wieder mit `rcases h with ⟨x, hx⟩` aufteilen, und
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ein `x` erhalten, dass die Aussage erfüllt.
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Bei einem Exists-Statement im Goal kann man mit `use` das Element angeben, dass dieses `∃ x,`
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erfüllt.
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"
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-- TODO: `even`/`odd` sind in Algebra.Parity. Not ported yet
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def even (a : ℕ) : Prop := ∃ r, a = r + r
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def odd (a : ℕ) : Prop := ∃ k, a = 2*k + 1
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Statement (n : ℕ) (h : even n) : even (n ^ 2) := by
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unfold even at *
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rcases h with ⟨x, hx⟩
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use 2 * x ^ 2
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rw [hx]
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ring
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-- TODO: Server PANIC because of the `even`.
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--
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-- Message (n : ℕ) (h : even n) : even (n ^ 2) =>
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-- "Wenn du die Definition von `even` nicht kennst, kannst du diese mit `unfold even` oder
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-- `unfold even at *` ersetzen.
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-- Note: Der Befehl macht erst mal nichts in Lean sondern nur in der Anzeige. Der Beweis funktioniert
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-- genau gleich, wenn du das `unfold` rauslöscht."
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Message (n : ℕ) (h : ∃ r, n = r + r) : ∃ r, n ^ 2 = r + r =>
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"Ein `∃ x, ..` in den Annahmen kann man wieder mit `rcases h with ⟨x, hx⟩` aufteilen, und
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ein `x` erhalten, dass die Aussage erfüllt."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : ∃ r, n ^ 2 = r + r =>
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"Bei einem `∃ x, ..` im Goal hingegen, muss man mit `use y` das Element angeben, dass
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die Aussage erfüllen soll."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : ∃ r, (x + x) ^ 2 = r + r =>
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"Bei einem `∃ x, ..` im Goal hingegen, muss man mit `use y` das Element angeben, dass
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die Aussage erfüllen soll."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : n ^ 2 = 2 * x ^ 2 + 2 * x ^ 2 =>
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"Prinzipiell löst `ring` simple Gleichungen wie diese. Allerdings musst du zuerst `n` zu
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`x + x` umschreiben..."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : (x + x) ^ 2 = 2 * x ^ 2 + 2 * x ^ 2 =>
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"Die Taktik `ring` löst solche Gleichungen."
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Tactics unfold rcases use rw ring
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