|
|
import TestGame.Metadata
|
|
|
import Std.Tactic.RCases
|
|
|
import Mathlib.Tactic.Contrapose
|
|
|
import Mathlib.Tactic.Use
|
|
|
import Mathlib.Tactic.Ring
|
|
|
|
|
|
import TestGame.ToBePorted
|
|
|
|
|
|
Game "TestGame"
|
|
|
World "Contradiction"
|
|
|
Level 5
|
|
|
|
|
|
Title "Kontraposition"
|
|
|
|
|
|
Introduction
|
|
|
"
|
|
|
Ein Beweis durch Kontraposition benützt im Grunde das eben bewiesene Lemma
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
lemma not_imp_not (A B : Prop) : (A → B) ↔ (¬ B → ¬ A) := by
|
|
|
[...]
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
Dazu gibt es die Taktik `contrapose`, welche eine Implikation im Goal
|
|
|
entsprechend umdreht.
|
|
|
|
|
|
Wir erinnern hier an die Taktik `revert h`, die aus der Annahme `h` eine Implikation
|
|
|
im Goal erstellt.
|
|
|
|
|
|
Im Gegensatz dazu kann man auch einen Beweis durch Kontraposition führen.
|
|
|
Das ist kein Widerspruch, sondern benützt dass `A → B` und `(¬ B) → (¬ A)`
|
|
|
logisch equivalent sind.
|
|
|
|
|
|
Wenn das Goal eine Implikation ist, kann man `contrapose` anwenden.
|
|
|
"
|
|
|
|
|
|
Statement
|
|
|
"Ist n² ungerade, so ist auch n ungerade. Beweise durch Kontraposition."
|
|
|
(n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)): Odd n := by
|
|
|
revert h
|
|
|
contrapose
|
|
|
rw [not_odd]
|
|
|
rw [not_odd]
|
|
|
apply even_square
|
|
|
|
|
|
HiddenHint (n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) : Odd n =>
|
|
|
"Um `contrapose` anzuwenden, brauchen wir eine Implikation `Odd (n ^ 2) → Odd n` im
|
|
|
Goal. Benutze `revert h`!"
|
|
|
|
|
|
Hint (n : ℕ) : Odd (n ^ 2) → Odd n =>
|
|
|
"Mit `contrapose` kann man die Implikation zu
|
|
|
`¬ (Not n) → ¬ (Odd n^2)` umkehren."
|
|
|
|
|
|
Hint (n : ℕ) : ¬Odd n → ¬Odd (n ^ 2) => "Erinnere dich an das Lemma `not_odd`."
|
|
|
|
|
|
HiddenHint (n : ℕ) : ¬Odd n → ¬Odd (n ^ 2) => "Dieses kann mit `rw` gebraucht werden."
|
|
|
|
|
|
Hint (n : ℕ) : Even n → ¬Odd (n ^ 2) =>
|
|
|
"rw [not_odd] muss hier zweimal angewendet werden."
|
|
|
|
|
|
Hint (n : ℕ) : Even n → Even (n ^ 2) =>
|
|
|
"Diese Aussage hast du bereits als Lemma bewiesen, schau mal in der Bibliothek."
|
|
|
|
|
|
NewTactics contrapose rw apply
|
|
|
NewLemmas Even Odd not_even not_odd even_square
|