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import TestGame.Metadata
import Std.Tactic.RCases
import Mathlib.Tactic.Contrapose
import Mathlib.Tactic.Use
import Mathlib.Tactic.Ring
import TestGame.ToBePorted
Game "TestGame"
World "Proving"
Level 3
Title "Kontraposition"
Introduction
"
Im Gegensatz dazu kann man auch einen Beweis durch Kontraposition führen.
Das ist kein Widerspruch, sondern benützt dass `A → B` und `(¬ B) → (¬ A)`
logisch equivalent sind.
Wenn das Goal eine Implikation ist, kann man `contrapose` anwenden.
"
Statement
"Ist n² ungerade, so ist auch n ungerade. Beweise durch Kontraposition."
(n : ℕ) : Odd (n ^ 2) → Odd n := by
contrapose
rw [not_odd]
rw [not_odd]
apply even_square
Message (n : ℕ) (h : Odd (n ^ 2)) : Odd n =>
"`intro` wär generell ein guter Ansatz! Aber hier wollen wir `contrapose` benützen, was eine
Implikation benötigt, deshalb ist `intro` hier der falsche Weg!"
Message (n : ℕ) : Odd (n ^ 2) → Odd n =>
"Mit `contrapose` kann man die Implikation zu
`¬ (even n) → ¬ (even n^2)` umkehren."
Hint (n : ℕ) : ¬Odd n → ¬Odd (n ^ 2) => "Du kennst bereits ein Lemma um `¬ odd ...` mit `rw`
umzuschreiben"
Message (n : ℕ) : Even n → ¬Odd (n ^ 2) => "rw [not_odd] muss hier zweimal angewendet werden,
da rw das erste Mal `not_odd n` gebraucht hat und das zweite Mal `not_odd (n^2)` benützt."
Message (n : ℕ) : Even n → Even (n ^ 2) => "Diese Aussage hast du bereits als Lemma bewiesen."