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import Adam.Metadata
import Adam.Levels.SetTheory.L03_Subset
import Adam.Options.MathlibPart
set_option tactic.hygienic false
Game "Adam"
World "SetTheory"
Level 4
Title "Teilmengen"
Introduction
"
Etwas weiter kommt ihr an einem kleinen Gemüsestand vorbei. Da ihr nicht so
richtig einen Plan habt, fragt ihr den Verkäufer.
**Verkäufer**: Hier ist was ganz wichtiges, was ihr noch oft brauchen werdet:
Ein zentrales Lemma ist `Subset.antisymm_iff` welches folgendes sagt:
```
lemma antisymm_iff {α : Type} {A B : Set α} : A = B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
```
Fast immer wenn man Gleichheiten von Mengen zeigen muss, will man diese in zwei Ungleichungen
aufteilen.
"
open Set Subset
Statement Set.subset_empty_iff {A : Type _} (s : Set A) :
s ⊆ ∅ ↔ s = ∅ := by
Hint "**Du**: Ja, die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge.
Das ist doch eine Tautologie?
**Robo**: Ja schon, aber zuerst einmal explizit."
Hint (hidden := true) "**Robo**: Fang doch einmal mit `constructor` an."
constructor
intro h
Hint "**Robo**: Gleichheit zwischen Mengen kann man zum Beispiel zeigen,
indem man `A ⊆ B` und `B ⊆ A` zeigt.
Dieser Schritt ist `apply Subset.antisymm`"
apply Subset.antisymm
assumption
Hint "**Robo**: Hier ist das Lemma `empty_subset` hilfreich."