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import TestGame.Metadata
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import TestGame.Options.BigOperators
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import Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin
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import Mathlib.Tactic.Ring
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import TestGame.ToBePorted
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Game "TestGame"
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World "Sum"
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Level 5
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set_option tactic.hygienic false
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Title "Quadrat der Arithmetischen Summe"
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Introduction
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"
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Und hier noch eine etwas schwierigere Übung.
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Das Resultat aus Level 3 kannst du als `arithmetic_sum` wiederverwenden:
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$$
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2 \\cdot \\sum_{i = 0}^n i = n \\cdot (n + 1)
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$$
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"
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open BigOperators
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lemma arithmetic_sum (n : ℕ) : 2 * (∑ i : Fin (n + 1), ↑i) = n * (n + 1) := by
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induction' n with n hn
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simp
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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rw [mul_add]
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simp
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rw [mul_add, hn]
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simp_rw [Nat.succ_eq_one_add]
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ring
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Statement
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"Zeige $\\sum_{i = 0}^n i^3 = (\\sum_{i = 0}^n i)^2$."
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(m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ)^3) = (∑ i : Fin (m + 1), (i : ℕ))^2 := by
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induction' m with m hm
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simp
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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simp
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rw [hm]
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := m + 1)]
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simp
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rw [add_pow_two]
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rw [arithmetic_sum]
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ring
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NewLemmas arithmetic_sum add_pow_two
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HiddenHint (m : ℕ) : ∑ i : Fin (Nat.zero + 1), ↑i ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.zero + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"`simp` kann den Induktionsanfang beweisen."
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Hint (m : ℕ) : ∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Im Induktionsschritt musst du versuchen, das Goal so umzuformen, dass du
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`∑ i : Fin (m + 1), ↑i ^ 3` (Induktionshypothese) oder
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`2 * (∑ i : Fin (m + 1), ↑i)` (arithmetische Summe) erhälst.
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Als erstes kannst du mal mit dem bekannten `rw [Fin.sum_univ_castSucc]` anfangen.
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"
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HiddenHint (m : ℕ) : ∑ i : Fin (m + 1), ↑(Fin.castSucc.toEmbedding i) ^ 3 +
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↑(Fin.last (m + 1)) ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Mit `simp` kriegst du das `↑(Fin.castSucc.toEmbedding i)` weg"
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Hint (m : ℕ) : ∑ x : Fin (m + 1), (x : ℕ) ^ 3 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Jetzt kannst du die Induktionshypothese mit `rw` einsetzen."
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 = (∑ i : Fin (Nat.succ m + 1), ↑i) ^ 2 =>
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"Die linke Seite ist jetzt erst mal gut. Um auf der rechten Seite `Fin.sum_univ_castSucc`
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anzuwenden, haben wir ein Problem: Lean schreibt immer die erste Instanz um, also würde gerne
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auf der linken Seite `(∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2` umschreiben.
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Wir können Lean hier weiterhelfen, indem wir manche Argemente von `Fin.sum_univ_castSucc`
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explizit angeben. Die Funktion hat ein Argument mit dem Namen `n`, welches wir z.B. explizit
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angeben können:
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```
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rw [Fin.sum_univ_castSucc (n := m + 1)]
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```
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"
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HiddenHint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (m + 1), ↑(Fin.castSucc.toEmbedding i) + ↑(Fin.last (m + 1))) ^ 2 =>
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"wieder `simp`"
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 = (∑ i : Fin (m + 1), ↑i + (m + 1)) ^ 2 =>
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"Die rechte Seite hat die Form $(a + b)^2$ welche mit `add_pow_two` zu $a^2 + 2ab + b^2$
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umgeschrieben werden kann."
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (2 * ∑ i : Fin (m + 1), ↑i) * (m + 1) + (m + 1) ^ 2 =>
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"Jetzt hast du in der Mitte `2 * ∑ i : Fin (m + 1), ↑i)`, welches du mit der
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arithmetischen Summe `arithmetic_sum` umschreiben kannst."
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Hint (m : ℕ) : (∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + (m + 1) ^ 3 =
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(∑ i : Fin (m + 1), ↑i) ^ 2 + m * (m + 1) * (m + 1) + (m + 1) ^ 2 =>
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"Den Rest sollte `ring` für dich übernehmen."
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