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import Adam.Metadata
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import Adam.Options.MathlibPart
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Game "Adam"
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World "Inequality"
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Level 5
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Title "Drinker's Paradox"
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set_option tactic.hygienic false
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Introduction
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"
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**weitere Person**: Jetzt aber zu einem anderen Thema. Kennt ihr eigentlich das
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Drinker-Paradoxon?
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**Robo**: Das ist in meinem System. *In dieser Bar gibt es eine Person, so dass
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falls diese Person jetzt am drinken ist, dann sind alle am trinken*.
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**weitere Person**: Genau! Könnt ihr mir das beweisen?
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"
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open Function
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Statement {People : Type} [Inhabited People] (isDrinking : People → Prop) :
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∃ (x : People), isDrinking x → ∀ (y : People), isDrinking y := by
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Hint "**Du**: Wenn `p` eine Person ist, dann ist also `isDrinking p` eine Aussage,
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die wahr oder falsch ist. Soweit so gut.
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Wieso hat er aber `Inhabited People` hinzugefügt?
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**Robo**: Die Aussage ist falsch, wenn die Bar leer wäre, da dann keine solche
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Person existieren kann. Jedenfalls kannst du dadurch jederzeit `default`, oder lang
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`(default : Person)`, schreiben, wenn du einfach irgendeine Person brauchst.
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**Du**: Und wie fang ich jetzt an?
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**Robo**: Du könntest eine Fallunterscheidung machen, ob die Aussage
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`∀ (y : People), isDrinking y` wahr oder falsch ist."
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Hint (hidden := true) "**Robo**: Schau mal `by_cases` an."
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by_cases ∀ y, isDrinking y
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Hint (hidden := true) "**Du**: Und wen nehm ich jetzt?
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**Robo**: Wie gesagt, `default` ist eine x-beliebige Person."
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use (default : People)
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intro
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assumption
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Hint (hidden := true) "**Robo**: Du könntest hier mit `push_neg at {h}` weitermachen."
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push_neg at h
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rcases h with ⟨p, hp⟩
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use p
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intro hp'
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Hint (hidden := true) "**Robo**: Was siehst du, wenn du `{hp}` und `{hp'}` anschaust?"
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contradiction
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LemmaTab "Logic"
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NewDefinition Inhabited
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Conclusion
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"**weitere Person**: Fantastisch! Zum wohl!
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…und damit endet auch deine Erinnerung und wer weiss was du anschließend gemacht hast…"
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