lean4game/server/testgame/TestGame/Levels/SetTheory/L11_SSubset.lean

import TestGame.Metadata
import Mathlib.Data.Set.Basic

Game "TestGame"
World "SetTheory"
Level 11

Title "Strikte Teilmenge"

Introduction
"
Strikte Teilmengen sind in Lean eher selten, aber wir schauen sie hier
trotzdem kurz an : `A ⊂ B` (`\\ssub`) bedeutet `(A ⊆ B) ∧ (¬B ⊆ A)`.
Entsprechend, kann man die gleichen Methoden wie beim UND benützen
(`rcases`/`constructor`).

Zudem kann man mit `rw [ssubset_def]` explizit die Definition einsetzen.

Note: `rw [subset_def]` macht das gleiche für `⊆`.
"

--open Set

Statement
""
    (A B : Set ℕ) (h : A ⊂ B) : ∃ x, x ∈ B \ A := by
  cases' h with h₁ h₂
  rw [Set.subset_def] at h₂
  rw [not_forall] at h₂
  cases' h₂ with x hx
  use x
  rw [not_imp] at hx
  rw [Set.mem_diff]
  exact hx

Tactics constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial

Lemmas Subset.antisymm_iff empty_subset