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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Logic"
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Level 14
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Title "Und"
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Introduction
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"
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Das logische UND `A ∧ B` (`\\and`) funktioniert sehr ähnlich zum Iff (`↔`).
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Grund dafür ist, dass `A ∧ B` auch eine Struktur aus zwei Teilen ist, nämlich
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der linken und rechten Seite.
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Man can also genau gleich `constructor` und `rcases` anwenden, ebenso kann man
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`.1` und `.2` für die Einzelteile brauchen, diese heissen lediglich
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`h.left` und `h.right` anstatt `.mp` und `.mpr`.
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"
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Statement
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"Zeige $(A \\land (A \\Rightarrow B)) \\iff (A \\land B)$."
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(A B : Prop) : (A ∧ (A → B)) ↔ (A ∧ B) := by
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constructor
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intro h
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rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
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constructor
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assumption
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apply h₂
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assumption
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intro h
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rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
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constructor
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assumption
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intro
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assumption
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Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) ↔ A ∧ B =>
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"`↔` oder `∧` im Goal kann man mit `constructor` zerlegen."
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Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) → A ∧ B =>
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"Hier würdest du mit `intro` die Implikation angehen.
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(Experten können mit `intro ⟨h₁, h₂⟩` im gleichen Schritt noch ein `rcases` auf
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das UND in der Implikationsannahme)"
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-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
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Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ (A → B)) : A ∧ B =>
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"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ (A → B)` mit `rcases` aufteilen."
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : B =>
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"Wie wär's mit `apply`? Hast du ne Implikation, die anwendbar ist?"
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-- Rückrichtung
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Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ B → A ∧ (A → B) =>
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"Das Goal ist ne Implikation $\\ldots \\Rightarrow \\ldots$
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Da hilft `intro`.
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(auch hier kann man wieder mit `intro ⟨ha, hb⟩` gleich noch die Premisse zerlegen.)"
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-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
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Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A ∧ (A → B) =>
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"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ B` mit `rcases` zerlegen."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : A ∧ B =>
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"Wieder in Einzelteile zerlegen..."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (ha : A) (hb : B) : A ∧ (A → B) =>
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"Immer das gleiche ... noch mehr zerlegen."
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) (h₁: A) (h₂: B) : A → B =>
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-- "Das ist jetzt vielleicht etwas verwirrend: Wir wollen die Implikation `A → B` zeigen,
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-- wissen aber, dass `B` immer wahr ist (habe eine Annahme der Form `(hB : B)`).
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-- Mit intro können wir einfach nochmal annehmen, dass `A` wahr ist. Es stört uns nicht,
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-- dass wir das schon wissen und auch gar nicht brauchen. Damit müssen wir nur noch zeigen,
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-- dass `B` wahr ist."
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-- TODO
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Tactics apply rcases
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Tactics assumption
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