|
|
import Adam.Metadata
|
|
|
|
|
|
import Adam.ToBePorted
|
|
|
|
|
|
set_option tactic.hygienic false
|
|
|
|
|
|
Game "Adam"
|
|
|
World "Sum"
|
|
|
Level 1
|
|
|
|
|
|
Title "Simp"
|
|
|
|
|
|
Introduction
|
|
|
"
|
|
|
**Unbekannte**: Willkommen auf *Indu*, unserem Planeten! Bevor ich euch herumzeigen will,
|
|
|
sagt mir, ob ihr unsere Lebensweise zu verstehen und schätzen wisst:
|
|
|
In diesem Kapitel lernen wir endliche Summen und mehr Übungen zur Induktion.
|
|
|
|
|
|
"
|
|
|
|
|
|
-- Eine endliche Summe läuft erstmal immer über einen endlichen Index
|
|
|
-- `Fin n`, welcher $n$ Elemente
|
|
|
-- $\\{0, 1, \\ldots, n-1\\}$ beinhaltet.
|
|
|
|
|
|
-- Der Syntax für $\\sum_{i=0}^n a_i$ ist `∑ i : Fin n, _` (\\sum)
|
|
|
|
|
|
-- Als erstes kann die Taktik `simp` (für \"simplification\") ganz viel Triviales vereinfachen.
|
|
|
-- `simp` ist eine der stärksten Taktiken in Lean und verwendet
|
|
|
-- ganz viele markierte Lemmas um das Goal zu vereinfachen.
|
|
|
|
|
|
-- Zum Beispiel kennt es ein Lemma das ungefähr so aussieht:
|
|
|
|
|
|
-- ```
|
|
|
-- @[simp]
|
|
|
-- lemma sum_const_add (n : ℕ) : (∑ i in Fin n, 0) = 0 := by
|
|
|
-- sorry
|
|
|
-- ```
|
|
|
|
|
|
-- Die Taktik `simp` benützt alle Lemmas, die mit `@[simp]` markiert sind.
|
|
|
|
|
|
-- (Tipp: `simp?` zeigt an, welche Lemmas `simp` benutzen würde.)
|
|
|
|
|
|
open BigOperators
|
|
|
|
|
|
Statement (n : ℕ) : (∑ i : Fin n, (0 + 0)) = 0 := by
|
|
|
Hint "
|
|
|
**Du**: Oh das ist ganz schön viel neues… Mal sehen, das sagt wohl
|
|
|
$( \\sum_i 0 + 0 ) = 0$. Dann ist das vielleicht doch nicht so komplex.
|
|
|
|
|
|
**Robo**: Genau! Man schreibt `\\sum`. Beachte den Index:
|
|
|
$( \\sum_\{i=0}^\{n-1} 0 + 0 ) = 0$, also `Fin n` ist ein Typ mit den Elementen
|
|
|
$(0, \\ldots, n-1)$.
|
|
|
|
|
|
**Du**: Oke, also `Fin n` hat `n` Elemente. Und was mach ich jetzt?
|
|
|
|
|
|
**Robo**: `simp` ist eine ganz starke Taktik, die viele Terme vereinfacht, wir
|
|
|
fangen besser an, diese zu benützen.
|
|
|
|
|
|
Irgendwie hast du das Gefühl ein Déjà-vue zu haben…"
|
|
|
simp
|
|
|
|
|
|
OnlyTactic simp
|
|
|
LemmaTab "Sum"
|
|
|
|
|
|
Conclusion "**Unbekannte**: Sehr gut, folgt mir!"
|
|
|
|
|
|
-- TODO: Cannot write $\\{0\\}$ inside a hint.
|