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import TestGame.Metadata
import Mathlib.Data.Nat.Prime
import Std.Tactic.RCases
import Mathlib.Tactic.LeftRight
import Mathlib.Tactic.Contrapose
import Mathlib.Tactic.Use
import Mathlib.Tactic.Ring
import TestGame.ToBePorted
Game "TestGame"
World "Prime"
Level 3
Title "Primzahlen"
Introduction
"
Mathematisch gesehen, bedeutet die Definition von vorhin dass $p$ ein
irreduzibles Element ist, und Primzahlen sind oft durch
`∀ (a b : ℕ), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b`
definiert. Auf den natürlichen Zahlen, sind die beiden äquivalent.
"
Statement
"Zeige dass $p \\ge 2$ eine Primzahl ist, genau dann wenn
$p \\mid a\\cdot b \\Rightarrow (p \\mid a) \\lor (p \\mid b)$."
(p : ℕ) (h₂ : 2 ≤ p):
Nat.Prime p ↔ ∀ (a b : ℕ), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b := by
constructor
intro h a b
apply (Nat.Prime.dvd_mul h).mp
intro h
rw [Nat.prime_iff]
change p ≠ 0 ∧ ¬IsUnit p ∧ ∀ a b, p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b