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import TestGame.Metadata
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import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "Function"
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Level 2
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Title ""
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Introduction
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"
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Ausserhalb eines Beweises kann man Funktionen mit `def`
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(anstatt `lemma`/`example`/`theorem`) definieren:
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def f (x : ℚ) : ℚ := 1 / (1 + x^2)
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def f : ℚ → ℚ := fun x ↦ 1 / (1 + x^2)
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```
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(die beiden Varianten sind äquivalent.)
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Um eine anonyme Funktion `fun x ↦ 1 / (1 + x^2)` **innerhalb** eines Beweis einem Namen
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zuzuordnen, benützt man `let`:
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```
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let f : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n ^ 2
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```
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`def` und `let` funktionieren also fast gleich wie `lemma`/`example`/`theorem` und `have` mit
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einem wichtigen Unterschied:
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```
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have f : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n ^ 2
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let f₂ : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n ^ 2
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```
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`have` vergisst sofort den \"Beweis\", das heisst, Lean weiss dann nur, dass es eine
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Funktion `(f : ℕ → ℕ)` gibt, aber nicht, wie diese definiert ist. `let` hingegen speichert
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die Definition der Funktion.
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Manchmal muss man Definitionen (von einem `def` oder `let` Statement) mit `unfold` einsetzen.
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def f (x : ℤ) : ℤ := (x + 1) ^ 2
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Statement
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Given the function
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def f (x : ℤ) : ℤ := (x + 1) ^ 2
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```
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show that $f(x) = x^2 + 2x + 1$.
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: ∀ x, f x = x ^ 2 + 2 * x + 1 := by
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intro x
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unfold f
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ring
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NewTactics «let»
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OnlyTactics «let» intro unfold ring
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HiddenHint : ∀ x, f x = x ^ 2 + 2 * x + 1 =>
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"Fang zuerst wie immer mit `intro x` an."
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Hint (x : ℤ) : f x = x ^ 2 + 2 * x + 1 =>
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Definitionen muss man manchmal manuell einsetzen um den Taktiken zu helfen.
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Das macht man mit `unfold f` (oder alternativ mit `rw [f]`).
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HiddenHint (x : ℤ) : f x = x ^ 2 + 2 * x + 1 =>
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Nachdem die Definition von `f` eingesetzt ist, übernimmt `ring` den Rest"
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