Aggiornare 'src/pages/archivio/2024-2025/aritmetica.md'

src/pages/archivio/2024-2025/aritmetica.md

@@ -382,3 +382,27 @@ pertanto la copia di $S_4\subset S_5$ dato che ha la giusta cardinalità (è un
 normalizzi il _gruppo di Klein_). Di queste copie ne abbiamo $\boxed{5}$ distinte.
 
 Abbiamo concluso.
+
+### Esercitazione del 10 aprile pre-pasquale
+
+**Es.1**
+Dimostrare che l'insieme dei primi congrui a $1$ modulo $4$ è infinito.
+**Es.2**
+Dimostrare che, per ogni numero primo $p$, l'equazione
+$$6n^2+5n+1\equiv 0\mod{p}$$
+ha sempre soluzione.
+**Es.3 - \small{math.stackexchange.com/q/5054567/413188}**
+E' vero che ogni automorfismo di $G/Z(G)$ proviene da un automorfismo di $G$?
+**Es.4 - 16lug2020**
+Determinare, in funzione di $a\in \mathbb{Z}$, le soluzioni del sistema di congruenze
+\[
+\begin{cases}
+  2^x\equiv 5^{x^3+5} \mod{17}\\
+  x(x+1)\equiv a \mod{48}.
+\end{cases}
+\]
+**Es.5**
+Sia $\zeta_{8}$ una radice ottava dell'unità. Determinare tutti gli $n\in \mathbb{Z}$ tali che $\sqrt{n}\in \mathbb{Q}(\zeta_8)$.
+**Es.6**
+Determinare gli elementi invertibili nell'anello delle serie formali su un campo $\mathbb{K}[[x]]$.\\
+Si ricorda che tale anello contiene come elementi le \textit{somme formali infinite} $\sum\limits_{i=0}^{+\infty} a_i x^i$ e le operazioni dell'anello sono la somma coefficiente per coefficiente e il prodotto 'come polinomi' (prodotto di Cauchy).