alcune modifiche e aggiornamenti

astro.config.mjs

@@ -1,4 +1,12 @@
-import { defineConfig } from 'astro/config';
+import { defineConfig } from 'astro/config'
+
+import remarkMath from 'remark-math'
+import rehypeKatex from 'rehype-katex'
 
 // https://astro.build/config
-export default defineConfig({});
+export default defineConfig({
+    markdown: {
+        remarkPlugins: [remarkMath],
+        rehypePlugins: [rehypeKatex],
+    },
+})

package.json

@@ -10,6 +10,8 @@
         "astro": "astro"
     },
     "dependencies": {
-        "astro": "4.15.10"
+        "astro": "4.15.10",
+        "rehype-katex": "^7.0.1",
+        "remark-math": "^6.0.0"
     }
 }

public/favicon.svg

@@ -1,13 +1,13 @@
 <!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN" "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
 <!-- Uploaded to: SVG Repo, www.svgrepo.com, Transformed by: SVG Repo Mixer Tools -->
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+</g>
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-␍</g>
+</g>
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+</svg>

src/layouts/Base.astro

@@ -19,33 +19,6 @@ const { title, courses, selectedCourseLabel } = Astro.props
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-        <script>
-            document.addEventListener('DOMContentLoaded', function () {
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-                    // customised options
-                    // • auto-render specific keys, e.g.:
-                    delimiters: [
-                        { left: '$$', right: '$$', display: true },
-                        { left: '$', right: '$', display: false },
-                        { left: '\\(', right: '\\)', display: false },
-                        { left: '\\[', right: '\\]', display: true },
-                    ],
-                    // • rendering keys, e.g.:
-                    throwOnError: false,
-                })
-            })
-        </script>
 
         <script>
             // @ts-ignore

src/pages/archivio/2024-2025/aritmetica.md

@@ -2,21 +2,21 @@
 layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
 title: Aritmetica
 tutors:
-- name: Alessio Sgubin
+    - name: Alessio Sgubin
       contacts:
           - type: email
             value: n.cognome@studenti.unipi.it
           - type: website
             value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~sgubin'
-- name: Alessandro Fenu
+    - name: Alessandro Fenu
       image: /tutors/alessandro-fenu.jpg
       contacts:
           - type: email
             value: a.fenu3@studenti.unipi.it
           - type: website
             value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~afenu'
-
 ---
+
 <p>
 La prima metà del tutorato si è conclusa.
 Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo compitino.
@@ -27,33 +27,51 @@ Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo compitino.
 
 <h2> Esercizi Settimana del 16 dicembre </h2>
 
-Per consegnarli potete usare [questo Form](https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdRYHE4j_j28WXvL6kzqQ3LLuaiJl2QPg76fsS11Ucl871MLQ/viewform?usp=dialog).
+Per consegnarli potete usare
+[questo Form](https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdRYHE4j_j28WXvL6kzqQ3LLuaiJl2QPg76fsS11Ucl871MLQ/viewform?usp=dialog).
 
 ## Esercizio 1
-Sia $R$ un anello senza nilpotenti, ossia tale che se $x^n = 0$ per qualche $n$, allora necessariamente $x = 0$. Sappiamo inoltre che, per ogni $a, b \in R$, vale $(ab)^2 = a^2 \cdot b^2$. Dimostrare che $R$ è commutativo.
+
+Sia $R$ un anello senza nilpotenti, ossia tale che se $x^n = 0$ per qualche $n$, allora
+necessariamente $x = 0$. Sappiamo inoltre che, per ogni $a, b \in R$, vale $(ab)^2 = a^2 \cdot b^2$.
+Dimostrare che $R$ è commutativo.
 
 ## Esercizio 2
-Consideriamo l'anello $A$ delle funzioni continue $[0, 1] \to \mathbb{R}$, dove la struttura di anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.
 
-Siano adesso, per $n \geq 2$, $f_1, \dots, f_n$ delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano tutte contemporaneamente.
+Consideriamo l'anello $A$ delle funzioni continue $[0, 1] \to \mathbb{R}$, dove la struttura di
+anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.
+
+Siano adesso, per $n \geq 2$, $f_1, \dots, f_n$ delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano
+tutte contemporaneamente.
 
 1. Mostrare che l'ideale da loro generato $(f_1, \dots, f_n)$ è tutto $A$.
-2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali $I \subset A$ e conseguentemente chi è il campo $A/I$.
+2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali $I \subset A$ e conseguentemente chi è il campo
+   $A/I$.
 
 ## Esercizio 3
-Definiamo *caratteristica* di un anello $A$ in maniera grezza come "il minimo numero $n$ tale che sommando $n$ volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a $0$". Tale caratteristica può essere $0$ quando $n$ è infinito (ossia non arrivo mai a $0$) oppure un numero positivo.
+
+Definiamo _caratteristica_ di un anello $A$ in maniera grezza come "il minimo numero $n$ tale che
+sommando $n$ volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a $0$". Tale
+caratteristica può essere $0$ quando $n$ è infinito (ossia non arrivo mai a $0$) oppure un numero
+positivo.
 
 Supponiamo adesso $A$ campo.
 
 1. Che valori può avere $n$?
-2. Esiste un campo con $n$ elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono $\mathbb{F}_n \to A$? Questi oggetti si chiamano "*oggetti iniziali*" (in un appropriato contesto).
+2. Esiste un campo con $n$ elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono
-3. Cosa abbiamo usato di $A$ campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo $A$ dominio.
+   $\mathbb{F}_n \to A$? Questi oggetti si chiamano "_oggetti iniziali_" (in un appropriato
+   contesto).
+3. Cosa abbiamo usato di $A$ campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo
+   $A$ dominio.
 4. Esiste un dominio con $15$ elementi? E con $64$?
 
 ## Esercizio 4
-L'unità immaginaria $i$ è contenuta nell'estensione dei razionali $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})$? E $\sqrt{5}$ in $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$?
+
+L'unità immaginaria $i$ è contenuta nell'estensione dei razionali $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})$? E
+$\sqrt{5}$ in $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$?
 
 ## Esercizio 5
+
 Quanti polinomi irriducibili di grado $n$ esistono nell'anello $\mathbb{F}_p[x]$?
 
 <hr />
@@ -63,154 +81,299 @@ Quanti polinomi irriducibili di grado $n$ esistono nell'anello $\mathbb{F}_p[x]$
 Qui le [soluzioni](/materiale/soluzioni_esercizi_16dicembre.pdf).
 
 ## Tutorato 8 gennaio.
-Es.1
 
-Sia $p$ primo. Preso
+**Es.1**
-\[P(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot\dots\cdot (x-(p-1))\]
-per quali primi $p$ vale $a_1\equiv 0 \text{mod} p^2$?
 
-Es.2
+Sia $p$ primo. Preso $P(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot\dots\cdot (x-(p-1))$ per quali primi $p$ vale
+$a_1\equiv 0 \text{mod} p^2$?
 
-Calcolare il numero di elementi di ordine $12$ in $\mathbb{Z}_{56} ^*$ e $\mathbb{Z}_{377} ^*$.
+**Es.2**
 
-Es.3
+Calcolare il numero di elementi di ordine $12$ in $\mathbb{Z}_{56}$ e $\mathbb{Z}_{377}$.
 
-Per quali $n\in \mathbb{N}$ il polinomio $x^{2n}+x^n+1$ è divisibile per $x^2+x+1$ in $\mathbb{Q}[x]$?\\
+**Es.3**
 
-Es.4
+Per quali $n\in \mathbb{N}$ il polinomio $x^{2n}+x^n+1$ è divisibile per $x^2+x+1$ in
+$\mathbb{Q}[x]$?
 
-Sia $\alpha=2+\sqrt{5+\sqrt{-5}}\in \mathbb{C}$. Determinare i gradi $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ e $[\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]$.
+**Es.4**
 
-Es.5
+Sia $\alpha=2+\sqrt{5+\sqrt{-5}}\in \mathbb{C}$. Determinare i gradi
+$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ e $[\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]$.
 
-Sia $f(x)=x^4+3x^3+x+1$. Calcolare il grado del campo di spezzamento su $\mathbb{F}_{2^k}$ e $\mathbb{F}_{3^k}$. Inoltre detta $\alpha\in\mathbb{C}$ una qualsiasi radice di $f(x)$, calcolare $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$.
+**Es.5**
+
+Sia $f(x)=x^4+3x^3+x+1$. Calcolare il grado del campo di spezzamento su $\mathbb{F}_{2^k}$ e
+$\mathbb{F}_{3^k}$. Inoltre detta $\alpha\in\mathbb{C}$ una qualsiasi radice di $f(x)$, calcolare
+$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$.
 
 ## Tutorato 15 gennaio
 
-Es.1
+**Es.1**
 
 Dimostrare che $x^4+1$ è riducibile in $\mathbb{F}_p$ per ogni $p$ primo.
 
-Es.2
+**Es.2**
 
 Risolvere il sistema di congruenze
-\[
+
+$$
 \begin{cases}
     3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
     x^{22} +2x\equiv 30 \mod{22}.
 \end{cases}
-\]
+$$
 
-Es.3
+**Es.3**
 
 Dimostrare che $x^4+x^2-x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
 
-Es.4
+**Es.4**
 
-Sia $G$ gruppo tale che tutti i suoi sottogruppi normali abbiano indice infinito. Sia ora $F$ un sottogruppo \textbf{finito} normale di $G$. Dimostrare che $Z(G)$ sta nel centro.
+Sia $G$ gruppo tale che tutti i suoi sottogruppi normali abbiano indice infinito. Sia ora $F$ un
+sottogruppo **finito** normale di $G$. Dimostrare che $Z(G)$ sta nel centro.
 
-Es.5
+**Es.5**
 
-Esercizio popolare (per lavorare di più con i gruppi): sia $G$ un gruppo di cardinalità $p^n$ per qualche $n$ ed $H$ un suo sottogruppo proprio. Dimostrare che il normalizzatore di $H$ contiene strettamente $H$.\\
+Esercizio popolare (per lavorare di più con i gruppi): sia $G$ un gruppo di cardinalità $p^n$ per
+qualche $n$ ed $H$ un suo sottogruppo proprio. Dimostrare che il normalizzatore di $H$ contiene
+strettamente $H$.
 
-Es.6
+**Es.6**
 
 Determinare quanti sono i sottogruppi di $S_4$, di $S_5$ e di $S_6$ di cardinalità $9$.
 
 ## Tutorato 29 gennaio
 
+**Es.1**
 
-Es.1
+Definiamo $\sigma(n)$ come la somma di tutti i divisori positivi di $n\in \mathbb{N}_{>0}$.
+Determinare le soluzioni all'equazione $$\ 3\cdot \sigma(n)=4\cdot n -17.$$
 
-Definiamo $\sigma(n)$ come la somma di tutti i divisori positivi di $n\in \mathbb{N}_{>0}$. Determinare le soluzioni all'equazione
+**Es.2**
-\[\ 3\cdot \sigma(n)=4\cdot n -17.\]
 
-Es.2
+Determinare tutte le coppie $(n, h)\in \mathbb{N}^2$ tale che esistano omomorfismi **non banali** da
+$S_n$ ad un gruppo di cardinalità $h$.
 
-Determinare tutte le coppie $(n, h)\in \mathbb{N}^2$ tale che esistano omomorfismi \textbf{non banali} da $S_n$ ad un gruppo di cardinalità $h$.
+**Es.3**
-
-Es.3
 
 Fattorizzare $x^3+2x+1$ nel campo di spezzamento di $x^4+4$ su $\mathbb{F}_3$.
 
-Es.4
+**Es.4**
 
-Descrivere il centralizzatore dell'elemento $(1234)(567)(89)$ in $S_9$.\\
+Descrivere il centralizzatore dell'elemento $(1234)(567)(89)$ in $S_9$. Dire la cardinalità del
-Dire la cardinalità del normalizzatore di $<(1234)(567)(89)>$ in $S_9$.
+normalizzatore di $\langle (1234)(567)(89) \rangle$ in $S_9$.
 
 ## Soluzioni primo scritto di Aritmetica
 
-\section*{Esercizio 1}
+### Esercizio 1
-Consideriamo la successione definita da $a_1=2, a_2=2$ e $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ per ogni $n\geq 3$.\\
+
-\begin{itemize}
+Consideriamo la successione definita da $a_1=2, a_2=2$ e $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ per ogni
-    \item \textbf{a.} Dimostrare che $a_n$ è un multiplo di $12$ per ogni $n\geq 4$.
+$n\geq 3$.
-    \item \textbf{b.} Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ vale $a_n\geq \sqrt{n!}$.
+
-\end{itemize}
+-   **a.** Dimostrare che $a_n$ è un multiplo di $12$ per ogni $n\geq 4$.
-\textbf{Soluzione a.}\\
+
-Procediamo per \textit{induzione forte} su $n$: assumendo che $a_k$ sia divisibile per $12$ per ogni $4\leq k<n$ dimostriamo che $a_n$ è divisibile per $12$.\\
+-   **b.** Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ vale $a_n\geq \sqrt{n!}$.
-Passo base: verifichiamo che $a_4$ ed $a_5$ siano multipli di $12$. Per computazione diretta, $a_3=6, a_4=12, a_5=36$, da cui segue il passo base.\\
+
-Passo induttivo: supponendo la tesi vera per ogni $4\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$. Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>5$. Scrivendo la ricorsione
+**Soluzione a.**
-\[a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}\]
+
-si nota che $a_{n-1}$ ed $a_{n-2}$ sono entrambi multipli di $12$ per ipotesi induttiva forte, in quanto $n-1, n-2$ sono entrambi maggiori o uguali a $4$ (ricordiamo $n>5$) e chiaramente strettamente minori di $n$. Allora $a_n$ è combinazione di due multipli di $12$ ed è multiplo di $12$.\\
+Procediamo per _induzione forte_ su $n$: assumendo che $a_k$ sia divisibile per $12$ per ogni
-Abbiamo concluso il passo induttivo e dunque dimostrato che $a_k$ è sempre multiplo di $12$ per ogni $k\geq 4$.\\
+$4\leq k<n$ dimostriamo che $a_n$ è divisibile per $12$.
-\textbf{Soluzione b.}\\
+
-Procediamo nuovamente per induzione forte su $n$.\\
+-   **Passo base:** verifichiamo che $a_4$ ed $a_5$ siano multipli di $12$. Per computazione
-Notiamo preliminarmente che per ogni $n\geq 2$ vale la disuguaglianza $1+\sqrt{n-1}\geq \sqrt{n}$: elevando al quadrato è equivalente (per positività di ambo i membri) a $n+2\sqrt{n-1}\geq n$ ossia a $2\sqrt{n-1}\geq 0$, chiaramente verificata.\\  
+    diretta, $a_3=6, a_4=12, a_5=36$, da cui segue il passo base.
-Passo base: dal testo $a_1\geq \sqrt{1}, a_2\geq \sqrt{2}$ seguono.\\
+
-Passo induttivo: supponendo la tesi vera per ogni $1\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$. Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>2$. Scrivendo la ricorsione
+-   **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $4\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
-\[a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}\]
+    Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>5$. Scrivendo la ricorsione
-otteniamo immediatamente $a_n\geq \sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}$ (abbiamo sostituito l'ipotesi induttiva dato che $n-1, n-2$ sono entrambi $\geq 1$) che possiamo esprimere come
+    $$
-\[a_n\geq\sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}=\sqrt{(n-1)!}\cdot(1+\sqrt{n-1}).\]
+    a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
-Applicando l'osservazione iniziale, il membro di destra è maggiore o uguale a $\sqrt{(n-1)!}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{n!}$ e dunque
+    $$
-\[a_n\geq \sqrt{n!}\]
+    si nota che $a_{n-1}$ ed $a_{n-2}$ sono entrambi multipli di $12$ per ipotesi induttiva forte,
+    in quanto $n-1, n-2$ sono entrambi maggiori o uguali a $4$ (ricordiamo $n>5$) e chiaramente
+    strettamente minori di $n$. Allora $a_n$ è combinazione di due multipli di $12$ ed è multiplo di
+    $12$.
+
+Abbiamo concluso il passo induttivo e dunque dimostrato che $a_k$ è sempre multiplo di $12$ per ogni
+$k\geq 4$.
+
+**Soluzione b.**
+
+Procediamo nuovamente per induzione forte su $n$. Notiamo preliminarmente che per ogni $n\geq 2$
+vale la disuguaglianza $1+\sqrt{n-1}\geq \sqrt{n}$: elevando al quadrato è equivalente (per
+positività di ambo i membri) a $n+2\sqrt{n-1}\geq n$ ossia a $2\sqrt{n-1}\geq 0$, chiaramente
+verificata.
+
+-   **Passo base:** dal testo $a_1\geq \sqrt{1}, a_2\geq \sqrt{2}$ seguono.
+
+-   **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $1\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
+    Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>2$. Scrivendo la ricorsione
+
+    $$
+    a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
+    $$
+
+    otteniamo immediatamente $a_n\geq \sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}$ (abbiamo sostituito
+    l'ipotesi induttiva dato che $n-1, n-2$ sono entrambi $\geq 1$) che possiamo esprimere come
+    $$a_n\geq\sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}=\sqrt{(n-1)!}\cdot(1+\sqrt{n-1}).$$
+
+    Applicando l'osservazione iniziale, il membro di destra è maggiore o uguale a
+    $\sqrt{(n-1)!}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{n!}$ e dunque
+
+    $$
+    a_n\geq \sqrt{n!}
+    $$
+
 che conclude il passo induttivo e dimostra la tesi.
-\section*{Esercizio 2}
+
+### Esercizio 2
+
 Trovare tutte le soluzioni intere del sistema
-\[\begin{cases}
+
+$$
+\begin{cases}
     3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
-    x^{22}+2x\equiv 30 \mod{22}.
+    x^{22}+2x\equiv 30 \mod{22}
-\end{cases}\]
+\end{cases}
-\textbf{Soluzione.} Risolviamo entrambe le equazioni e poi mettiamo a sistema le soluzioni. La prima equazione è equivalente al sistema
+$$
-\[\begin{cases}
+
+**Soluzione.** Risolviamo entrambe le equazioni e poi mettiamo a sistema le soluzioni. La prima
+equazione è equivalente al sistema
+
+$$
+\begin{cases}
     3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{4}\\
-    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{7}.
+    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{7}
-\end{cases}\]
+\end{cases}
-Per la prima equazione, basta notare che le potenze di $3$ ciclano modulo $4$ ogni $2$: $3^0\equiv 1, 3^1\equiv -1, 3^2\equiv 1,\dots$ come assicurato dal teorema di Eulero-Fermat. L'equazione è verificata allora per tutti gli $x$ tali che $x^2-1$ sia dispari $\Rightarrow x$ pari. Analogamente per la seconda equazione: il teorema di Eulero-Fermat ci garantisce che le potenze di $3$ modulo $7$ si ripetano ogni $6$ pertanto basta calcolare $3^0\equiv 1, 3^1\equiv 3, 3^2\equiv 2, 3^3\equiv -1, 3^4\equiv 4, 3^5\equiv -2, 3^5\equiv 1$. La seconda equazione sarà allora soddisfatta per tutti e soli gli interi $x$ con $x^2-1\equiv 3\mod{6}$, ossia (per verifica diretta\footnote{Importante: una semplice applicazione del teorema di Eulero-Fermat non ci garantisce una corretta risoluzione dell'equazione. I (pochi) conti ci hanno assicurato che $3$ genera $(\mathbb{Z}_7)^*$.}) $x\equiv 2, 4\mod{6}$. Intersecando le soluzioni trovate, otteniamo che $x\equiv 2, 4\mod{6}$ è la soluzione di questo primo sistema.\\
+$$
+
+Per la prima equazione, basta notare che le potenze di $3$ ciclano modulo $4$ ogni $2$:
+$3^0\equiv 1, 3^1\equiv -1, 3^2\equiv 1,\dots$ come assicurato dal teorema di Eulero-Fermat.
+L'equazione è verificata allora per tutti gli $x$ tali che $x^2-1$ sia dispari $\Rightarrow x$ pari.
+Analogamente per la seconda equazione: il teorema di Eulero-Fermat ci garantisce che le potenze di
+$3$ modulo $7$ si ripetano ogni $6$ pertanto basta calcolare
+$3^0\equiv 1, 3^1\equiv 3, 3^2\equiv 2, 3^3\equiv -1, 3^4\equiv 4, 3^5\equiv -2, 3^5\equiv 1$. La
+seconda equazione sarà allora soddisfatta per tutti e soli gli interi $x$ con
+$x^2-1\equiv 3\mod{6}$, ossia (per verifica diretta <!-- footnote --> (Importante: una semplice applicazione del teorema di Eulero-Fermat non ci garantisce una corretta risoluzione dell'equazione. I (pochi) conti ci hanno assicurato che $3$ genera $(\mathbb{Z}_7)^*$)) $x\equiv 2, 4\mod{6}$. Intersecando le soluzioni trovate, otteniamo che $x\equiv 2, 4\mod{6}$ è la soluzione di questo primo sistema.
+
 La seconda equazione del testo è equivalente al sistema
-\[\begin{cases}
+
+$$
+\begin{cases}
     x^{22}+2x\equiv 8 \mod{2}\\
-    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{11}.
+    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{11}
-\end{cases}\]
+\end{cases}
-Dalla prima, si ottiene $x$ pari (nuovamente), per la seconda possiamo usare il teorema di Eulero-Fermat che ci garantisce $x^{11}\equiv x^1\mod{11}$ e sostituire $x^{22}$ con $x^2$. Abbiamo ora $x^2+2x\equiv 8 \mod{11}$ e dunque $(x-2)(x+4)\equiv 0 \mod{11}\Rightarrow x\equiv2, -4 \mod{11}$ dato che $\mathbb{Z}_{11}$ è un campo.\\
+$$
+
+Dalla prima, si ottiene $x$ pari (nuovamente), per la seconda possiamo usare il teorema di
+Eulero-Fermat che ci garantisce $x^{11}\equiv x^1\mod{11}$ e sostituire $x^{22}$ con $x^2$. Abbiamo
+ora $x^2+2x\equiv 8 \mod{11}$ e dunque
+$(x-2)(x+4)\equiv 0 \mod{11}\Rightarrow x\equiv2, -4 \mod{11}$ dato che $\mathbb{Z}_{11}$ è un
+campo.
+
 Intersecando tutte le soluzioni ottenute abbiamo i $4$ sistemi
-\[\begin{cases}
+
+$$
+\begin{cases}
     x\equiv 2, 4 \mod{6}\\
     x\equiv 2, -4 \mod{11}
-\end{cases}\]
+\end{cases}
-Per il Teorema Cinese del Resto sappiamo che ognuno dei $4$ sistemi ammette una e una sola soluzione, che possiamo trovare a mano aggiungendo $2$ e togliendo $4$ ai primi sei multipli di $11$. Le soluzioni finali saranno $x\equiv 2, 40, 46, 62\mod{66}$.
+$$
-\section*{Esercizio 3}
+
-Dire se il polinomio $p(x)=x^4+ x^2 - x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.\\
+Per il Teorema Cinese del Resto sappiamo che ognuno dei $4$ sistemi ammette una e una sola
-\textbf{Soluzione.} Per il criterio della radice razionale, se questo polinomio fosse diviso da un fattore di grado $1$ avrebbe una radice razionale con numeratore che divide $2$ e denominatore che divide $1$ (il termine di testa). Per verifica diretta, $1, -1, 2, -2$ non sono radici pertanto il nostro polinomio non è diviso da nessun fattore di grado $1$.\\
+soluzione, che possiamo trovare a mano aggiungendo $2$ e togliendo $4$ ai primi sei multipli di
-Rimangono due possibilità: o è un prodotto di due fattori di grado $2$ irriducibili oppure è irriducibile.\\
+$11$. Le soluzioni finali saranno $x\equiv 2, 40, 46, 62\mod{66}$.
-Se fosse $p(x)=g(x)\cdot h(x)$ con $g$ ed $h$ di grado $2$, allora proiettando tutto tramite $\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_3 [x]$ otterremo una fattorizzazione di $p(x)$ in $\mathbb{Z}_3[x]$ in fattori di grado al più $2$.\\
+
-Questo è un assurdo: in $\mathbb{Z}_3[x]$ abbiamo $x^4+x^2-x+2=(x-1)(x^3+x^2+2x+1)$ e il fattore di grado $3$ è irriducibile visto che non ha radici. Pertanto la fattorizzazione in $\mathbb{Z}[x]$ non può avere fattori irriducibili di grado tutti minori di $3$.\\
+### Esercizio 3
-L'unica possibilità rimasta è che $p(x)$ sia irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ e abbiamo concluso.\\
+
-\textbf{Conclusione alternativa.} Per escludere che $p(x)$ sia prodotto di due fattori irriducibili di grado $2$ possiamo anche procedere diversamente. Una tale fattorizzazione sarebbe della forma $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2-x+2$ e svolgendo tutti i prodotti ed eguagliando i coefficienti otteniamo un sistema che non ha soluzione in $\mathbb{Q}$. 
+Dire se il polinomio $p(x)=x^4+ x^2 - x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
-\section*{Esercizio 4}
+
-Sia $Y$ l'insieme costituito dai sottogruppi di $S_5$ che hanno $4$ elementi.\\
+**Soluzione.** Per il criterio della radice razionale, se questo polinomio fosse diviso da un
-\begin{itemize}
+fattore di grado $1$ avrebbe una radice razionale con numeratore che divide $2$ e denominatore che
-    \item \textbf{(1)} Quanti sottogruppi ciclici ci sono in $Y$?
+divide $1$ (il termine di testa). Per verifica diretta, $1, -1, 2, -2$ non sono radici pertanto il
-    \item \textbf{(2)} Consideriamo $\sigma=(1, 2, 3, 4)$. Quanti elementi ha il centralizzatore $C(\sigma)$?
+nostro polinomio non è diviso da nessun fattore di grado $1$.
-    \item \textbf{(3)} Quanti sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ci sono in $Y$?
+
-    \item \textbf{(4)} Per ogni $K\in Y$ consideriamo il suo normalizzatore $N(K)=\{g\in S_5 | gKg^{-1}=K\}$ (assumiamo noto il fatto che il normalizzatore sia a sua volta un sottogruppo di $S_5$). Dire se fra questi normalizzatori ce ne sono alcuni (e se ce ne sono specificare quanti sono) isomorfi a uno dei seguenti gruppi: $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2, D_4, A_4, S_4, A_5, S_5$.
+Rimangono due possibilità: o è un prodotto di due fattori di grado $2$ irriducibili oppure è
-\end{itemize}
+irriducibile.
-\textbf{Soluzione (1).} Per contare sottogruppi ciclici di ordine $4$ possiamo contare gli elementi di ordine $4$ e dividere per $\varphi(4)=2$ (il numero di generatori per ogni sottogruppo). Gli elementi di ordine $4$ in $S_5$ sono tutti e soli i $4-$cicli: dalla teoria sappiamo che sono ${{5}\choose{4}}\cdot 3!$ e dunque la risposta è $15$.\\
+
-\textbf{Soluzione (2).} Sappiamo che la cardinalità del centralizzatore di $\sigma$ in $S_5$ corrisponde (per la formula Orbita-Stabilizzatore) a $|S_5|/|{\text{classe di coniugio di }\sigma}|$. Inoltre la classe di coniugio di $\sigma$ è fatta da tutti e soli i $4$-cicli in $S_5$ che per il conto precedente sono $30$. La risposta è allora $120/30=4$. Possiamo notare anche che $1, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ ci appartengono e sono pertanto tutti e soli gli elementi del centralizzatore.\\
+Se fosse $p(x)=g(x)\cdot h(x)$ con $g$ ed $h$ di grado $2$, allora proiettando tutto tramite
-\textbf{Soluzione (3).} Dato che $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ è generato da due qualsiasi dei suoi elementi di grado $2$ (distinti), ci basta contare le coppie (ordinate) di elementi di grado $2$ che commutano in $S_5$ e poi dividere per $6$ (il numero di modi di scegliere una coppia ordinata di generatori in $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$).\\
+$\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_3 [x]$ otterremo una fattorizzazione di $p(x)$ in
-Per fare il conto procediamo cosi: notiamo che gli elementi di ordine $2$ sono $2-$cicli e $2+2-$cicli. Il centralizzatore di un $2$-ciclo contiene $6$ elementi di ordine $2$ distinti dal $2-$ciclo di partenza (basta fare il conto con $(12)$) mentre un $2+2-$ciclo ne contiene altri $4$ (basta fare il conto con $(12)(34)$). Pertanto il numero di coppie ordinate di elementi di ordine $2$ che commutano in $S_5$ è $\text{numero di 2-cicli}\cdot 6 + \text{numero di 2+2-cicli}\cdot 4=120$. Dividendo per $6$ otteniamo \framebox{20} che è la risposta corretta.\\
+$\mathbb{Z}_3[x]$ in fattori di grado al più $2$.
-\textbf{Soluzione (4).}
+
-Cominciamo osservando che, per la formula orbita-stabilizzatore, il normalizzatore di un $4$-ciclo (e dunque dello $\mathbb{Z}_4$ che genera) ha cardinalità $5!/\{\text{suoi coniugati}\}$ ed i suoi coniugati sono tutti e soli gli elementi contati al punto $(1)$. Il normalizzatore ha cardinalità $8$. Esibiamo due modi per capire chi è. Senza perdita di generalità supponiamo che il gruppo sia $<(1234)>$. Possiamo imporre $g(1234)g^{-1}=(1234)^i$ per $i=0, 1, 2, 3$ e determinare a mano tutti gli $8$ elementi (in questa maniera abbiamo mostrato un altro modo per capirne la cardinalità): otteniamo una copia di $D_4$ sui vertici $\{1, 2, 3, 4\}$.\\
+Questo è un assurdo: in $\mathbb{Z}_3[x]$ abbiamo $x^4+x^2-x+2=(x-1)(x^3+x^2+2x+1)$ e il fattore di
-Alternativamente potevamo osservare che il $D_4\subset S_5$ sui vertici $\{1, 2, 3, 4\}$ di sicuro normalizza $<(1234)>$ in quanto esso genera un sottogruppo di indice $2$ dentro $D_4$. D'altronde, per il conto iniziale il normalizzatore ha cardinalità proprio $8$ e dunque non contiene nient'altro oltre a $D_4$. Con questo ragionamento abbiamo appena esibito $\framebox{15}$ normalizzatori isomorfi a $D_4$, uno per ogni\footnote{Tutte queste copie sono distinte dato che dentro un $D_4$ esiste un solo gruppo di ordine $4$.} gruppo ciclico dentro $Y$.\\
+grado $3$ è irriducibile visto che non ha radici. Pertanto la fattorizzazione in $\mathbb{Z}[x]$ non
-Dobbiamo contare i normalizzatori dei rimanenti sottogruppi dentro $Y$, ossia le varie copie di $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$.\\
+può avere fattori irriducibili di grado tutti minori di $3$.
-Dal punto $(3)$ abbiamo scoperto che esistono due copie non coniugate di $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ dentro $S_5$: i generati da due cicli disgiunti $<e, (12), (34), (12)(34)>$ che sono $15$ (tutti coniugati tra loro) e i generati da due $2+2$-cicli $<e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)>$ che sono $5$ (tutti coniugati tra loro). Per gli stessi conti di prima (entrambe le strade funzionano) abbiamo che il normalizzatore di $<e, (12), (34), (12)(34)>$ ha cardinalità $8$ ed è dunque un $D_4$, mentre il normalizzatore di \\$<e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)>$ ha cardinalità $24$. Sarà pertanto la copia di $S_4\subset S_5$ dato che ha la giusta cardinalità (è un fatto noto che $S_4$ normalizzi il \textit{gruppo di Klein}). Di queste copie ne abbiamo $\framebox{5}$ distinte.\\
+
+L'unica possibilità rimasta è che $p(x)$ sia irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ e abbiamo concluso.
+
+**Conclusione alternativa.** Per escludere che $p(x)$ sia prodotto di due fattori irriducibili di
+grado $2$ possiamo anche procedere diversamente. Una tale fattorizzazione sarebbe della forma
+$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2-x+2$ e svolgendo tutti i prodotti ed eguagliando i coefficienti
+otteniamo un sistema che non ha soluzione in $\mathbb{Q}$.
+
+### Esercizio 4
+
+Sia $Y$ l'insieme costituito dai sottogruppi di $S_5$ che hanno $4$ elementi.
+
+1. Quanti sottogruppi ciclici ci sono in $Y$?
+2. Consideriamo $\sigma=(1, 2, 3, 4)$. Quanti elementi ha il centralizzatore $C(\sigma)$?
+3. Quanti sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ci sono in $Y$?
+4. Per ogni $K\in Y$ consideriamo il suo normalizzatore $N(K)=\{g\in S_5 | gKg^{-1}=K\}$ (assumiamo
+   noto il fatto che il normalizzatore sia a sua volta un sottogruppo di $S_5$). Dire se fra questi
+   normalizzatori ce ne sono alcuni (e se ce ne sono specificare quanti sono) isomorfi a uno dei
+   seguenti gruppi: $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2, D_4, A_4, S_4, A_5, S_5$.
+
+**Soluzione (1).** Per contare sottogruppi ciclici di ordine $4$ possiamo contare gli elementi di
+ordine $4$ e dividere per $\varphi(4)=2$ (il numero di generatori per ogni sottogruppo). Gli
+elementi di ordine $4$ in $S_5$ sono tutti e soli i $4-$cicli: dalla teoria sappiamo che sono
+${{5}\choose{4}}\cdot 3!$ e dunque la risposta è $15$.
+
+**Soluzione (2).** Sappiamo che la cardinalità del centralizzatore di $\sigma$ in $S_5$ corrisponde
+(per la formula Orbita-Stabilizzatore) a $|S_5|/|{\text{classe di coniugio di }\sigma}|$. Inoltre la
+classe di coniugio di $\sigma$ è fatta da tutti e soli i $4$-cicli in $S_5$ che per il conto
+precedente sono $30$. La risposta è allora $120/30=4$. Possiamo notare anche che
+$1, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ ci appartengono e sono pertanto tutti e soli gli elementi del
+centralizzatore.
+
+**Soluzione (3).** Dato che $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ è generato da due qualsiasi dei suoi
+elementi di grado $2$ (distinti), ci basta contare le coppie (ordinate) di elementi di grado $2$ che
+commutano in $S_5$ e poi dividere per $6$ (il numero di modi di scegliere una coppia ordinata di
+generatori in $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$).
+
+Per fare il conto procediamo cosi: notiamo che gli elementi di ordine $2$ sono $2-$cicli e
+$2+2-$cicli. Il centralizzatore di un $2$-ciclo contiene $6$ elementi di ordine $2$ distinti dal
+$2-$ciclo di partenza (basta fare il conto con $(12)$) mentre un $2+2-$ciclo ne contiene altri $4$
+(basta fare il conto con $(12)(34)$). Pertanto il numero di coppie ordinate di elementi di ordine
+$2$ che commutano in $S_5$ è
+$\text{numero di 2-cicli}\cdot 6 + \text{numero di 2+2-cicli}\cdot 4=120$. Dividendo per $6$
+otteniamo $\boxed{20}$ che è la risposta corretta.
+
+**Soluzione (4).** Cominciamo osservando che, per la formula orbita-stabilizzatore, il
+normalizzatore di un $4$-ciclo (e dunque dello $\mathbb{Z}_4$ che genera) ha cardinalità
+$5!/\{\text{suoi coniugati}\}$ ed i suoi coniugati sono tutti e soli gli elementi contati al punto
+$(1)$. Il normalizzatore ha cardinalità $8$. Esibiamo due modi per capire chi è. Senza perdita di
+generalità supponiamo che il gruppo sia $\langle (1234) \rangle$. Possiamo imporre
+$g(1234)g^{-1}=(1234)^i$ per $i=0, 1, 2, 3$ e determinare a mano tutti gli $8$ elementi (in questa
+maniera abbiamo mostrato un altro modo per capirne la cardinalità): otteniamo una copia di $D_4$ sui
+vertici $\{1, 2, 3, 4\}$.
+
+Alternativamente potevamo osservare che il $D_4\subset S_5$ sui vertici $\{1, 2, 3, 4\}$ di sicuro
+normalizza $\langle (1234) \rangle$ in quanto esso genera un sottogruppo di indice $2$ dentro $D_4$.
+D'altronde, per il conto iniziale il normalizzatore ha cardinalità proprio $8$ e dunque non contiene
+nient'altro oltre a $D_4$. Con questo ragionamento abbiamo appena esibito $\boxed{15}$
+normalizzatori isomorfi a $D_4$, uno per ogni <!-- footnote --> (Tutte queste copie sono distinte
+dato che dentro un $D_4$ esiste un solo gruppo di ordine $4$) gruppo ciclico dentro $Y$.
+
+Dobbiamo contare i normalizzatori dei rimanenti sottogruppi dentro $Y$, ossia le varie copie di
+$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$.
+
+Dal punto $(3)$ abbiamo scoperto che esistono due copie non coniugate di
+$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ dentro $S_5$: i generati da due cicli disgiunti
+$\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ che sono $15$ (tutti coniugati tra loro) e i generati da
+due $2+2$-cicli $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ che sono $5$ (tutti coniugati tra
+loro). Per gli stessi conti di prima (entrambe le strade funzionano) abbiamo che il normalizzatore
+di $\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ ha cardinalità $8$ ed è dunque un $D_4$, mentre il
+normalizzatore di $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ ha cardinalità $24$. Sarà
+pertanto la copia di $S_4\subset S_5$ dato che ha la giusta cardinalità (è un fatto noto che $S_4$
+normalizzi il _gruppo di Klein_). Di queste copie ne abbiamo $\boxed{5}$ distinte.
+
 Abbiamo concluso.

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