+
+
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index 0000000..ccd11b2
--- /dev/null
+++ b/src/layouts/Base.astro
@@ -0,0 +1,53 @@
+---
+import Header from "../components/Header.astro";
+
+const { title, courses, selectedCourseLabel } = Astro.props;
+---
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+ {title}
+
+
+
+
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diff --git a/src/layouts/MarkdownPage.astro b/src/layouts/MarkdownPage.astro
new file mode 100644
index 0000000..8b6c342
--- /dev/null
+++ b/src/layouts/MarkdownPage.astro
@@ -0,0 +1,23 @@
+---
+import Base from "./Base.astro";
+
+const years = await Astro.glob("../pages/archivio/*/index.md");
+const currentYear = years
+ .map((module) => module.file.split("/").at(-2))
+ .toSorted()
+ .at(-1);
+const {
+ file,
+ frontmatter: { title },
+} = Astro.props;
+const selectedCourseLabel = file.split("/").at(-1);
+
+const allCourses = await Astro.glob(`../pages/archivio/*/*`);
+const courses = allCourses.filter((module) =>
+ module.file.includes(file.split("/").at(-2)),
+);
+---
+
+
+
+
diff --git a/src/pages/[course].astro b/src/pages/[course].astro
new file mode 100644
index 0000000..90d1146
--- /dev/null
+++ b/src/pages/[course].astro
@@ -0,0 +1,30 @@
+---
+export async function getStaticPaths() {
+ const years = await Astro.glob("./archivio/*/index.md");
+ const currentYear = years
+ .map((module) => module.file.split("/").at(-2))
+ .toSorted()
+ .at(-1);
+
+ const allCourses = await Astro.glob(`./archivio/*/*`);
+ const courses = allCourses.filter((module) => module.file.includes(currentYear));
+
+ return courses.map((module) => {
+ const course = module.file.split("/").at(-1).split(".")[0];
+ return {
+ params: {
+ course,
+ },
+ props: {
+ module,
+ },
+ };
+ });
+}
+
+const {
+ module: { Content },
+} = Astro.props;
+---
+
+
diff --git a/src/pages/archivio/23-24/algebra-1.md b/src/pages/archivio/23-24/algebra-1.md
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/src/pages/archivio/23-24/algebra-1.md
@@ -0,0 +1,137 @@
+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Algebra I
+---
+
+
+## Info
+
+**Tutor:** Cristofer Villani.
+
+Il tutorato si è concluso. Sotto trovate gli esercizi assegnati nei vari incontri e due simulazioni d'esame.
+
+## Esercizi assegnati
+
+**Tutorato 12:**
+
+- Siano $A\subset B$ anelli, e sia $\mathfrak{q}$ un ideale primo di $B$. Se $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A$, dimostrate che $\mathfrak{p}$ è un ideale primo di $A$ e che $A/\mathfrak{p}$ si immerge in $B/\mathfrak{q}$.
+- Sia $k$ un campo, e sia $A=k[t^2,t^3]$, con $t$ un'indeterminata su $k$.
+ - Se $\mathfrak{p}\neq (0)$ è un ideale primo di $A$, mostrate che $\mathfrak{p}\cap k[t^2]$ è un ideale primo di $k[t^2]$ diverso da $(0)$.
+ - Mostrate che ogni ideale primo di $A$ diverso da $(0)$ è massimale, ma $A$ non è un PID.
+- Sia $A$ un dominio, e siano $f,g\in A$. Un massimo comun divisore di $f$ e $g$ è un elemento $d\in A$ tale che
+ 1. $d$ divide entrambi $f$ e $g$,
+ 2. per ogni $h$ che divide entrambi $f,g$ vale $h\mid d$.
+ - Mostrate che, se esiste, un massimo comun divisore è unico a meno di invertibili: più precisamente, se $d_1$ e $d_2$ sono due massimi comuni divisori di $f$ e $g$, allora $d_1$ e $d_2$ sono associati (i.e. differiscono per un invertibile). Scriviamo allora $d=\text{gcd}(f,g)$ se $d$ è un qualsiasi massimo comun divisore di $f$ e $g$.
+ - Mostrate che, se $A$ è un UFD, $f$ e $g$ hanno un massimo comun divisore. *Hint: in* $\mathbb{Z}$*, come si trova il massimo comun divisore usando la fattorizzazione?*
+ - Mostrate che se $A$ è un PID, l'ideale $(f,g)$ è generato da un massimo comun divisore di $f$ e $g$.
+ - Mostrate che questo è in generale falso se $A$ è un UFD.
+ - Esibite un UFD $A$ e due elementi $f,g\in A$ tali che $\text{gcd}(f,g)=1$ ma $(f,g)\neq (1)$.
+- Sia $G=\text{Aut}(Q_8)$.
+ - Provate che l'azione di $G$ sui sottogruppi di indice $2$ di $Q_8$ induce un omomorfismo surgettivo $\varphi: G\to S_3$.
+ - Mostrate che $\text{ker}(\varphi)$ è isomorfo a $V$.
+ - Trovate un sottogruppo di $G$ isomorfo a $S_3$.
+ - Dimostrate che $G\simeq S_4$.
+- (Un vecchio esercizio che non ho mai discusso in dettaglio) Sia $G$ un gruppo, e sia $H < G$ un sottogruppo. Consideriamo l'azione di $G$ sui laterali sinistri di $H$.
+ - Mostrate che, per ogni $x\in G$, lo stabilizzatore di $xH$ è $xHx^{-1}$.
+ - Provate che il nucleo dell'azione di $G$ è il più grande sottogruppo $H_G$ di $H$ normale in $G$.
+ - (Una versione infinita del Lemma di Poincaré) Se $G$ è un gruppo infinito, e $H0$ un numero naturale. Dite per quali valori di $n$ l'anello $\mathbb{Z}/n$ è *ridotto*, cioè non ha elementi nilpotenti.
+- Supponiamo che un anello $A$ abbia infiniti ideali massimali. Mostrate che, se $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_k$ sono ideali massimali di $A$, con $k\in\mathbb{N}$, vale $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_k\neq (0)$.
+- Siano $A$ un anello e $x$ un'indeterminata.
+ - Caratterizzate gli elementi nilpotenti di $A[ x ]$.
+ - Caratterizzate gli elementi invertibili di $A[ x ]$.
+- Esibite un anello commutativo $A$ (necessariamente senza $1$!) privo di ideali massimali.
+
+**Tutorati 3-4:**
+- dal libro, es. 122, 124, 128.
+- Sia $G$ un gruppo finito tale che tutti i suoi sottogruppi massimali sono coniugati.
+ - Provate che $G$ è un $p$-gruppo per qualche primo $p$.
+ - Concludete che $G$ è ciclico di ordine $p^n$.
+- Sia $G$ un gruppo di ordine $p^3q$, per certi primi $p,q$. Supponiamo che $n_p(G), n_q(G)>1$.
+ - Mostrate che dev'essere $|G|=24$.
+ - ($\star$) Concludete che $G\simeq S_4$.
+- Sia $G$ un gruppo, e sia $\varphi:G\to \text{Aut}(G)$ la mappa che manda $g\in G$ nel coniugio per $g$. Mostrate che $G\rtimes_\varphi G\simeq G\times G$.
+- Sia $G$ un gruppo finito.
+ - Sia $G\curvearrowright X$ un'azione _transitiva_, e supponiamo che la sua restrizione a un sottogruppo $H < G$ sia ancora transitiva. Mostrate che allora $G=H\cdot\text{stab}_G(x)$ per un qualsiasi $x\in X$.
+ - (Argomento di Frattini) Se $N < G$ è un sottogruppo normale di $G$, e $P$ è un $p$-Sylow di $N$, mostrate che $G=\mathbf{N}_G(P)\cdot N$.
+- Sia $G$ un gruppo finito. Mostrate che le seguenti condizioni sono equivalenti. _Hint: l'ordine in cui mostrare le implicazioni è quello indicato. Per l'implicazione da 2. a 3. è utile l'esercizio precedente_.
+ 1) i normalizzatori dei sottogruppi di $G$ crescono, cioè: se $H\lneq G$, vale $\mathbf{N}_G(H)\supsetneq H$;
+ 2) i sottogruppi massimali di $G$ sono normali;
+ 3) i $p$-Sylow di $G$ sono normali;
+ 4) $G$ è prodotto diretto dei suoi $p$-Sylow;
+ 5) ogni quoziente non banale di $G$ ha centro non banale.
+- (Una generalizzazione dell'esempio $S_3\rtimes \mathbb{Z}/2$) Sia $G=N\rtimes_\varphi H$ un prodotto semidiretto, e supponiamo che $Z(N)=1$ e $H$ agisca su $N$ per automorfismi _interni_, i.e. $\text{im}(\varphi)\subset\text{Inn}(N)<\text{Aut}(N)$. Mostrate che $G\simeq N\times \mathbf{C}_G(N)$.
+- Sia $G$ un gruppo di ordine $n$, e sia $\varphi:G\to S_n$ l'immersione di Cayley, i.e. quella indotta dall'azione $G\curvearrowright G$ per moltiplicazione.
+ - ($\star$) Dimostrate che $\mathbf{N}_{S_n}(\varphi(G))\simeq G\rtimes \text{Aut}(G)$, con l'azione naturale di $\text{Aut}(G)$ su $G$.
+ - Ritrovate (o deducete) il fatto seguente: se $\sigma\in S_n$ è un $n$-ciclo, $\mathbf{N}_{S_n}(\langle\sigma\rangle)\simeq \mathbb{Z}/n\rtimes(\mathbb{Z}/n)^*$.
+
+**Tutorato 2:**
+- Dal libro, es. 28, 29, 110, 115.
+- Sia $G=\text{GL}(2,\mathbb{F}_3)$.
+ - Calcolate $|G|$.
+ - Determinate $\text{Z}(G)$.
+ - ($\star$) Mostrate che $G/\text{Z}(G)\simeq S_4$.
+- Per $H,K < G$, un _laterale doppio_ di $H$ e $K$ è un sottoinsieme della forma $HgK=\lbrace hgk\mid h\in H, k\in K\rbrace$, per qualche $g\in G$. Se $H$ e $K$ sono finiti, e $g\in G$, mostrate che vale $|HgK|=|H|\cdot|K|/|K\cap g^{-1}Hg|$.
+- Sia $G$ un gruppo finito, e sia $p$ un primo tale che $p$ divide $|G|$. Mostrate che il numero di sottogruppi di ordine $p$ in $G$ è congruo a $1$ modulo $p$. _Hint: può essere utile ripartire dalla dimostrazione del teorema di Cauchy via azione di_ $\mathbb{Z}/p$.
+- Sia $G$ un gruppo finito, e sia $H < G$. Consideriamo l’azione di $G$ per moltiplicazione (a sinistra) sui laterali (sinistri) di $H$, vale a dire $G\curvearrowright G/H=\lbrace xH\mid x\in G\rbrace$, $g(xH) \coloneqq gxH$.
+ - Dimostrate che, per $x\in G$, lo stabilizzatore di $xH$ è $xHx^{-1}$.
+ - Dimostrate che il numero di punti fissi dell'azione _ristretta ad_ $H$, i.e. il numero di laterali $xH$ tali che $gxH=xH$ per ogni $g\in H$, coincide con $[\mathbf{N}_G(H):H]$.
+ - Supponiamo che $H$ sia un $p$-sottogruppo di $G$, cioè $|H|=p^k$ per qualche $k$ e un fissato primo $p$. Se $[G:H]$ è divisibile per $p$, mostrate che anche $[\mathbf{N}_G(H):H]$ è divisibile per $p$.
+- (Dopo aver rivisto la teoria!) Usate l'esercizio precedente e il teorema di Cauchy (ma non i teoremi di Sylow!) per dimostrare che, se $G$ è un gruppo finito e $p$ è un primo che divide $|G|$, il gruppo $G$ ha un $p$-Sylow.
+
+**Tutorato 1:**
+- dal libro, es. 10, 12, 16, 17, 19;
+- mostrate che $\mathbb{Z}/d$, per $d$ dispari, non è isomorfo al gruppo di automorfismi $\text{Aut}(G)$ di alcun gruppo finito $G$;
+- sia $G$ un gruppo che agisce *transitivamente* su un insieme $X$ (i.e., c'è una sola orbita), e sia $N$ un sottogruppo normale di $G$. Dimostrate che
+ - se $x,y\in X$, $\text{stab}_G(x)$ e $\text{stab}_G(y)$ sono coniugati;
+ - l'azione di $N$ su $X$ non è necessariamente transitiva;
+ - le orbite dell'azione di $N$ su $X$ hanno tutte la stessa cardinalità.
+
+## Simulazioni d'Esame
+
+- Simulazione 24 aprile (Gruppi): [Testo](/Compitino1.pdf), [Soluzioni](/CompitinoSoluzioni.pdf),
+- Simulazione 31 maggio (Anelli & Campi): [Testo](/Compitino2.pdf), [Soluzioni](/Compitino2Soluzioni.pdf).
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+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Tutorato Alla Pari
+---
+
+## Info
+
+**Tutor:** Simona Felice, Danilo Calcinaro, Andrea Rocca, Giorgia Benassi.
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+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Analisi 1
+---
+
+## Info
+
+**Tutor:** Stefano Mannella.
+
+Durante le ore di tutorato proveremo innanzitutto a rispondere alle domande ed ai dubbi che possono essere sorti in classe.
+
+Siete caldamente invitati a dare un'occhio alla [raccolta di esercizi](https://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_Page/ArchivioDidattico.html) del professor Gobbino, che contiene sfide per tutti i gusti e livelli di difficoltà (sia di teoria che di calculus).
+
+Infine, ricordo a tutt* che, nel caso in cui sorgesse un qualche piccolo dubbio improssivo ed impellente, gli studenti più grandi (me compreso) sono sempre felici di dare una mano, é una realtà di cui andiamo abbastanza fieri, quindi non abbiate paura di chiedere!
+
+## Esercizi da consegnare
+
+Per quanto riguarda le lezioni di recupero, ho preparato qualche esercizio tipo che potete svolgere e consegnare. Mi raccomando la forma, sia dal punto di vista matematico che da quello grafico!
+
+-[Prima consegna](/EserciziTutorato.pdf)
+
+## Pdf dei Tutorati svolti
+
+In questa sezione ho intenzione di caricare i pdf dei tutorati svolti. Non scriverò ogni singolo esercizio, mi limiterò a quelli che ritengo più importanti e/o istruttivi. Non abbiate paura di farmi notare eventuali errori e/o imprecisioni! Riguardo allo stile, soprattutto all'inizio tenterò di essere il più chiaro possibile, quindi non temete, durante un compito non vi verrà mai richiesto di dare così tanti dettagli.
+
+- Tutorato del [13 ottobre 2023](/TutoratoAnalisi13102023.pdf).
+- Tutorato del [20 ottobre 2023](/TutoratoAnalisi2010.pdf).
+- Tutorato del [1 dicembre 2023](/LezioneNumeriComplessi.pdf).
+- Tutorato del [19 gennaio 2024](/Tutorato1901.pdf).
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+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Aritmetica
+---
+
+## Info
+
+**Tutor:** Cristofer Villani.
+
+Il tutorato di Aritmetica si è concluso. Sotto trovate i pdf di alcuni dei tutorati svolti.
+
+## Pdf dei Tutorati svolti
+
+- Tutorato del [13 ottobre 2023](/TutoratoAritmetica13102023.pdf).
+- Tutorato del [20 ottobre 2023](/TutoratoAritmetica20102023.pdf); una [nota](/Congruenze_di_II_grado.pdf) sulle congruenze di II grado.
+- Tutorato del [3 novembre 2023](/TutoratoAritmetica03112023.pdf).
+- Tutorato del [10 novembre 2023](/TutoratoAritmetica10112023.pdf).
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@@ -0,0 +1,21 @@
+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Geometria I
+---
+
+## Info
+**Tutor:** Marco Tavano.
+
+## Soluzioni dei Test
+**Primo Semestre**
+- Test del [12 ottobre 2023](/SoluzioniTest1Geometria1.pdf).
+- Test del [26 ottobre 2023](/SoluzioniTest2Geometria1.pdf).
+- Test del [9 novembre 2023](/SoluzioniTest3Geometria1.pdf).
+- Test del [23 novembre 2023](/SoluzioniTest4Geometria1.pdf).
+- Test del [14 dicembre 2023](/SoluzioniTest5Geometria1.pdf).
+
+**Secondo Semestre**
+- Test del [14 marzo 2024](/SoluzioniTest1Geometria1SecondoSem.pdf).
+- Test del [9 aprile 2024](/SoluzioniTest2Geometria1SecondoSem.pdf).
+- Test del [18 aprile 2024](/SoluzioniTest3GeometriaISecondoSem.pdf).
+- Test del [9 maggio 2024](/SoluzioniTest4GeometriaISecondoSem.pdf).
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@@ -0,0 +1,27 @@
+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Tutorato 2023/2024
+---
+
+
+## Che cos'è il tutorato?
+
+Il tutorato è pensato per darvi una mano con lo studio, e rispondere a qualsiasi dubbio matematico abbiate.
+
+Gli studenti delle materie del primo anno hanno a disposizione tre tutor specifici (uno per Analisi I, uno per Geometria I, uno per Fisica I). Per il secondo anno, c'è il tutorato di Algebra I.
+
+Per tutte le materie, sono a disposizione quattro tutor alla pari, che faranno tre incontri settimanali. Precisiamo che **il tutorato alla pari**, in cui potete fare domande su qualsiasi argomento, **è aperto (e fortemente consigliato) anche agli studenti degli anni successivi!**
+
+Venire a tutorato è utilissimo per darvi un'idea più chiara del vostro livello di conoscenza degli argomenti, e può servire a indirizzarvi nello studio. Ovviamente, non è necessario (e può essere controproducente!) che veniate a _ogni_ tutorato, ma se sentite il bisogno di consolidare le vostre conoscenze, oppure siete in difficoltà con qualche argomento, non fatevi problemi a venire!
+
+
+
+## Orario
+
+| | Lun | Mar | Mer | Gio | Ven |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
+|9-11| | | | | |
+|11-13| | | | | |
+|14-16| | | | | |
+|16-18| Alla Pari Aula 2 | | | Alla pari Aula 2 | |
+|18-20| | | | | |
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+++ b/src/pages/archivio/24-25/index.md
@@ -0,0 +1,26 @@
+---
+layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
+title: Tutorato 2024-2025
+---
+
+## Che cos'è il tutorato?
+
+Il tutorato è pensato per darvi una mano con lo studio, e rispondere a qualsiasi dubbio matematico abbiate.
+
+Gli studenti delle materie del primo anno hanno a disposizione tre tutor specifici (uno per Analisi I, uno per Geometria I, uno per Fisica I). Per il secondo anno, c'è il tutorato di Algebra I.
+
+Per tutte le materie, sono a disposizione quattro tutor alla pari, che faranno tre incontri settimanali. Precisiamo che **il tutorato alla pari**, in cui potete fare domande su qualsiasi argomento, **è aperto (e fortemente consigliato) anche agli studenti degli anni successivi!**
+
+Venire a tutorato è utilissimo per darvi un'idea più chiara del vostro livello di conoscenza degli argomenti, e può servire a indirizzarvi nello studio. Ovviamente, non è necessario (e può essere controproducente!) che veniate a _ogni_ tutorato, ma se sentite il bisogno di consolidare le vostre conoscenze, oppure siete in difficoltà con qualche argomento, non fatevi problemi a venire!
+
+
+
+## Orario
+
+| | Lun | Mar | Mer | Gio | Ven |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
+|9-11| | | | | |
+|11-13| | | | | |
+|14-16| | | | | |
+|16-18| Alla Pari Aula 2 | | | Alla pari Aula 2 | |
+|18-20| | | | | |
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index 2d14107..f0ae5fa 100644
--- a/src/pages/index.astro
+++ b/src/pages/index.astro
@@ -1,16 +1,14 @@
---
+const years = await Astro.glob("./archivio/*/index.md");
+const currentYear = years
+ .map((module) => module.file.split("/").at(-2))
+ .toSorted()
+ .at(-1);
+const {
+ Content,
+ frontmatter: { title },
+} = years.find((m) => m.file.includes(currentYear));
---
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- Astro
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