Compare commits
No commits in common. 'main' and 'main' have entirely different histories.
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# Sito Tutorato Matematica
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Questo sito è realizzato in Astro e serve come supporto per il tutorato di
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matematica del corso di laurea in Matematica dell'Università di Pisa.
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Questo sito è realizzato in Astro e serve come supporto per il tutorato di matematica del corso di laurea in Matematica dell'Università di Pisa.
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## Per i Tutor
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### Accedere a Gitea
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Collegati a [Gitea](https://git.phc.dm.unipi.it/) e clicca sul tasto Sign in.
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Nella finestra clicca su Sign in With Google, e successivamente scrivi il tuo
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indirizzo email di ateneo (ad esempio, `nome.cognome@studenti.unipi.it`), poi
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procedi con l'usuale login per i servizi di Ateneo.
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### Editare file
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Per potere modificare i file, è necessario chiedere ai Macchinisti di aggiornare
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i permessi del proprio account, passando in PHC o per mail.
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Entra nel [repository](https://git.phc.dm.unipi.it/phc/tutorato) e raggiungi la
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cartella `src/pages/archivio/[Anno corrente]`. Qui troverai il file relativo al
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tuo tutorato (se non esiste puoi crearlo usando uno degli altri come template),
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ad esempio quello relativo al corso di aritmetica è `aritmetica.md`.
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Cliccando sul file è possibile aprire l'editor di testo cliccando sulla matita
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in alto a destra (se non risulta cliccabile, contatta i macchinisti per farti
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dare l'accesso).
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#### Scrivere in LaTeX
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Il file del tutorato è in formato Markdown
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([Guida alla sintassi Markdown](https://www.markdownguide.org/basic-syntax/)),
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ed è possibile scrivere in LaTeX tramite KaTeX, il quale supporta molti degli
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usuali environments di LaTeX come, ad esempio `$...$` o `\(...\)` per l'ambiente
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_inline_ oppure `$$...$$` o `\[...\]` per _display_.
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Per familiarizzarti con scrivere LaTeX in Markdown, vedi
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[la pagina di esempio](https://git.phc.dm.unipi.it/phc/tutorato/src/commit/b04d9ea/src/pages/archivio/2024-2025/esempio.md)
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e
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la lista dei [simboli supportati da KaTeX](https://katex.org/docs/support_table).
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#### Caricare files
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È anche possibile includere link di files nella pagina, spostandosi nella
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cartella `public/materiale/` e poi cliccando sul menu a tendina "_Add File_". A
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questo punto puoi aggiungere un link alla pagina come ad esempio
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```
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Tutorato del [13 ottobre 2023](/materiale/TutoratoAnalisi13102023.pdf).
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```
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**Nota**: Il nome del file non deve contenere spazi o caratteri speciali, usa
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`_` o `-` al posto degli spazi.
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### Editing da locale
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È anche possibile editare i file in locale sulla propria macchina, clonando il
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repository tramite `git` e facendo push/pull degli aggiornamenti. Per interagire
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con Gitea in questo modo, la configurazione è analoga a quella di altri servizi
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come Github o Gitlab (in caso di problemi, contattare i macchinisti).
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## Preview in locale / Development
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## Utilizzo
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Per sviluppare in locale è necessario avere installato Bun o NodeJS
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```bash
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# con "bun"
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bun install
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bun dev
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# o con "nodejs/npm"
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npm install
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npm run dev
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```
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import { defineConfig } from 'astro/config'
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import remarkMath from 'remark-math'
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import rehypeKatex from 'rehype-katex'
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import { defineConfig } from 'astro/config';
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// https://astro.build/config
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export default defineConfig({
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markdown: {
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remarkPlugins: [remarkMath],
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rehypePlugins: [rehypeKatex],
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},
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})
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export default defineConfig({});
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<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN" "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
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||||
<!-- Uploaded to: SVG Repo, www.svgrepo.com, Transformed by: SVG Repo Mixer Tools -->
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<svg width="64px" height="64px" viewBox="-66.56 -66.56 645.12 645.12" version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" fill="#ffffff" stroke="#ffffff" stroke-width="0.00512">
|
||||
<g id="SVGRepo_bgCarrier" stroke-width="0" transform="translate(0,0), scale(1)">
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||||
<rect x="-66.56" y="-66.56" width="645.12" height="645.12" rx="96.76799999999999" fill="#ffffff" strokewidth="0"/>
|
||||
</g>
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||||
<g id="SVGRepo_tracerCarrier" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke="#aa0000" stroke-width="9.216">
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<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
|
||||
</g>
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<g id="SVGRepo_iconCarrier">
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<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
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</g>
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</svg>
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<g id="SVGRepo_bgCarrier" stroke-width="0" transform="translate(0,0), scale(1)">
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<rect x="-66.56" y="-66.56" width="645.12" height="645.12" rx="96.76799999999999" fill="#ffffff" strokewidth="0"/>
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</g>
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<g id="SVGRepo_tracerCarrier" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke="#aa0000" stroke-width="9.216">
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<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
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</g>
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<g id="SVGRepo_iconCarrier">
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<path fill="#aa0000" d="M224,288l0,32l272,0c8.837,0 16,7.163 16,16c0,8.837 -7.163,16 -16,16l-160.584,0l36.744,137.133c2.287,8.535 -2.778,17.309 -11.313,19.596c-8.536,2.287 -17.309,-2.778 -19.596,-11.314l-38.964,-145.415l-30.287,0l0,96c0,8.837 -7.163,16 -16,16c-8.837,0 -16,-7.163 -16,-16l0,-96l-30.287,0l-38.964,145.415c-2.287,8.536 -11.06,13.601 -19.596,11.314c-8.535,-2.287 -13.6,-11.061 -11.313,-19.596l36.744,-137.133l-160.584,0c-8.884,-0.048 -16,-7.193 -16,-16c0,-8.807 7.116,-15.952 16,-16l80,0l0,-32l128,0Zm-160,0l-32,0l0,-256c0,-17.673 14.327,-32 32,-32l384,0c17.673,0 32,14.327 32,32l0,256l-32,0l0,-256l-384,0l0,256Z"/>
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||||
</g>
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</svg>
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Before Width: | Height: | Size: 1.9 KiB After Width: | Height: | Size: 1.9 KiB |
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
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Before Width: | Height: | Size: 53 KiB |
Binary file not shown.
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Before Width: | Height: | Size: 101 KiB |
Binary file not shown.
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Before Width: | Height: | Size: 175 KiB |
Binary file not shown.
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Before Width: | Height: | Size: 145 KiB |
@ -1,7 +0,0 @@
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layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
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||||
title: Analisi 1
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tutors:
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- name: Stefano Mannella
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image: /tutors/stefano-mannella.jpg
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@ -1,384 +0,0 @@
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layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
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title: Aritmetica
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tutors:
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- name: Alessio Sgubin
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image: /tutors/alessio-sgubin.jpg
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contacts:
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- type: website
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value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~sgubin'
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- name: Alessandro Fenu
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image: /tutors/alessandro-fenu.jpg
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contacts:
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- type: email
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value: a.fenu3@studenti.unipi.it
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- type: website
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value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~afenu'
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La prima metà del tutorato si è conclusa. Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo
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compitino.
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[Qui trovate il file con il Testo e le Soluzioni](/materiale/simulazione_secondo_compitino_aritmetica.pdf)
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<h2> Esercizi Settimana del 16 dicembre </h2>
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Per consegnarli potete usare
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[questo Form](https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdRYHE4j_j28WXvL6kzqQ3LLuaiJl2QPg76fsS11Ucl871MLQ/viewform?usp=dialog).
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## Esercizio 1
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Sia $R$ un anello senza nilpotenti, ossia tale che se $x^n = 0$ per qualche $n$, allora
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necessariamente $x = 0$. Sappiamo inoltre che, per ogni $a, b \in R$, vale $(ab)^2 = a^2 \cdot b^2$.
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||||
Dimostrare che $R$ è commutativo.
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## Esercizio 2
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||||
Consideriamo l'anello $A$ delle funzioni continue $[0, 1] \to \mathbb{R}$, dove la struttura di
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anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.
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||||
Siano adesso, per $n \geq 2$, $f_1, \dots, f_n$ delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano
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tutte contemporaneamente.
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||||
1. Mostrare che l'ideale da loro generato $(f_1, \dots, f_n)$ è tutto $A$.
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2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali $I \subset A$ e conseguentemente chi è il campo
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$A/I$.
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## Esercizio 3
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||||
Definiamo _caratteristica_ di un anello $A$ in maniera grezza come "il minimo numero $n$ tale che
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sommando $n$ volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a $0$". Tale
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||||
caratteristica può essere $0$ quando $n$ è infinito (ossia non arrivo mai a $0$) oppure un numero
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positivo.
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||||
Supponiamo adesso $A$ campo.
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||||
1. Che valori può avere $n$?
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||||
2. Esiste un campo con $n$ elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono
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||||
$\mathbb{F}_n \to A$? Questi oggetti si chiamano "_oggetti iniziali_" (in un appropriato
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contesto).
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||||
3. Cosa abbiamo usato di $A$ campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo
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$A$ dominio.
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||||
4. Esiste un dominio con $15$ elementi? E con $64$?
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## Esercizio 4
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||||
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||||
L'unità immaginaria $i$ è contenuta nell'estensione dei razionali $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})$? E
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||||
$\sqrt{5}$ in $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$?
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||||
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||||
## Esercizio 5
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||||
Quanti polinomi irriducibili di grado $n$ esistono nell'anello $\mathbb{F}_p[x]$?
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||||
## Soluzioni Esercizi del 16 dicembre
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Qui le [soluzioni](/materiale/soluzioni_esercizi_16dicembre.pdf).
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## Tutorato 8 gennaio.
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**Es.1**
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||||
Sia $p$ primo. Preso $P(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot\dots\cdot (x-(p-1))$ per quali primi $p$ vale
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$a_1\equiv 0 \operatorname{mod} p^2$?
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||||
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**Es.2**
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||||
Calcolare il numero di elementi di ordine $12$ in $\mathbb{Z}_{56}$ e $\mathbb{Z}_{377}$.
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**Es.3**
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||||
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||||
Per quali $n\in \mathbb{N}$ il polinomio $x^{2n}+x^n+1$ è divisibile per $x^2+x+1$ in
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||||
$\mathbb{Q}[x]$?
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||||
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||||
**Es.4**
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||||
Sia $\alpha=2+\sqrt{5+\sqrt{-5}}\in \mathbb{C}$. Determinare i gradi
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||||
$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ e $[\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]$.
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||||
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**Es.5**
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||||
Sia $f(x)=x^4+3x^3+x+1$. Calcolare il grado del campo di spezzamento su $\mathbb{F}_{2^k}$ e
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||||
$\mathbb{F}_{3^k}$. Inoltre detta $\alpha\in\mathbb{C}$ una qualsiasi radice di $f(x)$, calcolare
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||||
$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$.
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||||
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||||
## Tutorato 15 gennaio
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**Es.1**
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||||
Dimostrare che $x^4+1$ è riducibile in $\mathbb{F}_p$ per ogni $p$ primo.
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**Es.2**
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||||
Risolvere il sistema di congruenze
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$$
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\begin{cases}
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||||
3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
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||||
x^{22} +2x\equiv 30 \mod{22}.
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||||
\end{cases}
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||||
$$
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||||
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||||
**Es.3**
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||||
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||||
Dimostrare che $x^4+x^2-x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
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||||
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||||
**Es.4**
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||||
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||||
Sia $G$ gruppo tale che tutti i suoi sottogruppi normali abbiano indice infinito. Sia ora $F$ un
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||||
sottogruppo **finito** normale di $G$. Dimostrare che $Z(G)$ sta nel centro.
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||||
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**Es.5**
|
||||
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||||
Esercizio popolare (per lavorare di più con i gruppi): sia $G$ un gruppo di cardinalità $p^n$ per
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||||
qualche $n$ ed $H$ un suo sottogruppo proprio. Dimostrare che il normalizzatore di $H$ contiene
|
||||
strettamente $H$.
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**Es.6**
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||||
Determinare quanti sono i sottogruppi di $S_4$, di $S_5$ e di $S_6$ di cardinalità $9$.
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## Tutorato 29 gennaio
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**Es.1**
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||||
Definiamo $\sigma(n)$ come la somma di tutti i divisori positivi di $n\in \mathbb{N}_{>0}$.
|
||||
Determinare le soluzioni all'equazione $$\ 3\cdot \sigma(n)=4\cdot n -17.$$
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||||
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**Es.2**
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||||
Determinare tutte le coppie $(n, h)\in \mathbb{N}^2$ tale che esistano omomorfismi **non banali** da
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||||
$S_n$ ad un gruppo di cardinalità $h$.
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**Es.3**
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||||
Fattorizzare $x^3+2x+1$ nel campo di spezzamento di $x^4+4$ su $\mathbb{F}_3$.
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**Es.4**
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||||
Descrivere il centralizzatore dell'elemento $(1234)(567)(89)$ in $S_9$. Dire la cardinalità del
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normalizzatore di $\langle (1234)(567)(89) \rangle$ in $S_9$.
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||||
## Soluzioni primo scritto di Aritmetica
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### Esercizio 1
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Consideriamo la successione definita da $a_1=2, a_2=2$ e $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ per ogni
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$n\geq 3$.
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- **a.** Dimostrare che $a_n$ è un multiplo di $12$ per ogni $n\geq 4$.
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- **b.** Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ vale $a_n\geq \sqrt{n!}$.
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**Soluzione a.**
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Procediamo per _induzione forte_ su $n$: assumendo che $a_k$ sia divisibile per $12$ per ogni
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$4\leq k<n$ dimostriamo che $a_n$ è divisibile per $12$.
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- **Passo base:** verifichiamo che $a_4$ ed $a_5$ siano multipli di $12$. Per computazione
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diretta, $a_3=6, a_4=12, a_5=36$, da cui segue il passo base.
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- **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $4\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
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Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>5$. Scrivendo la ricorsione
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$$
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a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
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$$
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si nota che $a_{n-1}$ ed $a_{n-2}$ sono entrambi multipli di $12$ per ipotesi induttiva forte,
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in quanto $n-1, n-2$ sono entrambi maggiori o uguali a $4$ (ricordiamo $n>5$) e chiaramente
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strettamente minori di $n$. Allora $a_n$ è combinazione di due multipli di $12$ ed è multiplo di
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$12$.
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Abbiamo concluso il passo induttivo e dunque dimostrato che $a_k$ è sempre multiplo di $12$ per ogni
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$k\geq 4$.
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**Soluzione b.**
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Procediamo nuovamente per induzione forte su $n$. Notiamo preliminarmente che per ogni $n\geq 2$
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vale la disuguaglianza $1+\sqrt{n-1}\geq \sqrt{n}$: elevando al quadrato è equivalente (per
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positività di ambo i membri) a $n+2\sqrt{n-1}\geq n$ ossia a $2\sqrt{n-1}\geq 0$, chiaramente
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verificata.
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- **Passo base:** dal testo $a_1\geq \sqrt{1}, a_2\geq \sqrt{2}$ seguono.
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- **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $1\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
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Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>2$. Scrivendo la ricorsione
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$$
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a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
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$$
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otteniamo immediatamente $a_n\geq \sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}$ (abbiamo sostituito
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l'ipotesi induttiva dato che $n-1, n-2$ sono entrambi $\geq 1$) che possiamo esprimere come
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$$a_n\geq\sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}=\sqrt{(n-1)!}\cdot(1+\sqrt{n-1}).$$
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Applicando l'osservazione iniziale, il membro di destra è maggiore o uguale a
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$\sqrt{(n-1)!}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{n!}$ e dunque
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$$
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a_n\geq \sqrt{n!}
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$$
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che conclude il passo induttivo e dimostra la tesi.
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### Esercizio 2
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Trovare tutte le soluzioni intere del sistema
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$$
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\begin{cases}
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3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
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x^{22}+2x\equiv 30 \mod{22}
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\end{cases}
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$$
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**Soluzione.** Risolviamo entrambe le equazioni e poi mettiamo a sistema le soluzioni. La prima
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equazione è equivalente al sistema
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$$
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\begin{cases}
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||||
3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{4}\\
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||||
3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{7}
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\end{cases}
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$$
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Per la prima equazione, basta notare che le potenze di $3$ ciclano modulo $4$ ogni $2$:
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$3^0\equiv 1, 3^1\equiv -1, 3^2\equiv 1,\dots$ come assicurato dal teorema di Eulero-Fermat.
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||||
L'equazione è verificata allora per tutti gli $x$ tali che $x^2-1$ sia dispari $\Rightarrow x$ pari.
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||||
Analogamente per la seconda equazione: il teorema di Eulero-Fermat ci garantisce che le potenze di
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||||
$3$ modulo $7$ si ripetano ogni $6$ pertanto basta calcolare
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$3^0\equiv 1, 3^1\equiv 3, 3^2\equiv 2, 3^3\equiv -1, 3^4\equiv 4, 3^5\equiv -2, 3^5\equiv 1$. La
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||||
seconda equazione sarà allora soddisfatta per tutti e soli gli interi $x$ con
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$x^2-1\equiv 3\mod{6}$, ossia (per verifica diretta <!-- footnote --> (Importante: una semplice
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applicazione del teorema di Eulero-Fermat non ci garantisce una corretta risoluzione dell'equazione.
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||||
I (pochi) conti ci hanno assicurato che $3$ genera $(\mathbb{Z}_7)^*$)) $x\equiv 2, 4\mod{6}$.
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||||
Intersecando le soluzioni trovate, otteniamo che $x\equiv 2, 4\mod{6}$ è la soluzione di questo
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primo sistema.
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La seconda equazione del testo è equivalente al sistema
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$$
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\begin{cases}
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||||
x^{22}+2x\equiv 8 \mod{2}\\
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||||
x^{22}+2x\equiv 8 \mod{11}
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||||
\end{cases}
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||||
$$
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||||
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Dalla prima, si ottiene $x$ pari (nuovamente), per la seconda possiamo usare il teorema di
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Eulero-Fermat che ci garantisce $x^{11}\equiv x^1\mod{11}$ e sostituire $x^{22}$ con $x^2$. Abbiamo
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||||
ora $x^2+2x\equiv 8 \mod{11}$ e dunque
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$(x-2)(x+4)\equiv 0 \mod{11}\Rightarrow x\equiv2, -4 \mod{11}$ dato che $\mathbb{Z}_{11}$ è un
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campo.
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Intersecando tutte le soluzioni ottenute abbiamo i $4$ sistemi
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$$
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||||
\begin{cases}
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||||
x\equiv 2, 4 \mod{6}\\
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||||
x\equiv 2, -4 \mod{11}
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||||
\end{cases}
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$$
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Per il Teorema Cinese del Resto sappiamo che ognuno dei $4$ sistemi ammette una e una sola
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||||
soluzione, che possiamo trovare a mano aggiungendo $2$ e togliendo $4$ ai primi sei multipli di
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$11$. Le soluzioni finali saranno $x\equiv 2, 40, 46, 62\mod{66}$.
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### Esercizio 3
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Dire se il polinomio $p(x)=x^4+ x^2 - x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
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**Soluzione.** Per il criterio della radice razionale, se questo polinomio fosse diviso da un
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||||
fattore di grado $1$ avrebbe una radice razionale con numeratore che divide $2$ e denominatore che
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||||
divide $1$ (il termine di testa). Per verifica diretta, $1, -1, 2, -2$ non sono radici pertanto il
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||||
nostro polinomio non è diviso da nessun fattore di grado $1$.
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Rimangono due possibilità: o è un prodotto di due fattori di grado $2$ irriducibili oppure è
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irriducibile.
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Se fosse $p(x)=g(x)\cdot h(x)$ con $g$ ed $h$ di grado $2$, allora proiettando tutto tramite
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$\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_3 [x]$ otterremo una fattorizzazione di $p(x)$ in
|
||||
$\mathbb{Z}_3[x]$ in fattori di grado al più $2$.
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Questo è un assurdo: in $\mathbb{Z}_3[x]$ abbiamo $x^4+x^2-x+2=(x-1)(x^3+x^2+2x+1)$ e il fattore di
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||||
grado $3$ è irriducibile visto che non ha radici. Pertanto la fattorizzazione in $\mathbb{Z}[x]$ non
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può avere fattori irriducibili di grado tutti minori di $3$.
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L'unica possibilità rimasta è che $p(x)$ sia irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ e abbiamo concluso.
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**Conclusione alternativa.** Per escludere che $p(x)$ sia prodotto di due fattori irriducibili di
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grado $2$ possiamo anche procedere diversamente. Una tale fattorizzazione sarebbe della forma
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$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2-x+2$ e svolgendo tutti i prodotti ed eguagliando i coefficienti
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otteniamo un sistema che non ha soluzione in $\mathbb{Q}$.
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### Esercizio 4
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Sia $Y$ l'insieme costituito dai sottogruppi di $S_5$ che hanno $4$ elementi.
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1. Quanti sottogruppi ciclici ci sono in $Y$?
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2. Consideriamo $\sigma=(1, 2, 3, 4)$. Quanti elementi ha il centralizzatore $C(\sigma)$?
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3. Quanti sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ci sono in $Y$?
|
||||
4. Per ogni $K\in Y$ consideriamo il suo normalizzatore $N(K)=\{g\in S_5 | gKg^{-1}=K\}$ (assumiamo
|
||||
noto il fatto che il normalizzatore sia a sua volta un sottogruppo di $S_5$). Dire se fra questi
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||||
normalizzatori ce ne sono alcuni (e se ce ne sono specificare quanti sono) isomorfi a uno dei
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||||
seguenti gruppi: $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2, D_4, A_4, S_4, A_5, S_5$.
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**Soluzione (1).** Per contare sottogruppi ciclici di ordine $4$ possiamo contare gli elementi di
|
||||
ordine $4$ e dividere per $\varphi(4)=2$ (il numero di generatori per ogni sottogruppo). Gli
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||||
elementi di ordine $4$ in $S_5$ sono tutti e soli i $4-$cicli: dalla teoria sappiamo che sono
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${{5}\choose{4}}\cdot 3!$ e dunque la risposta è $15$.
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**Soluzione (2).** Sappiamo che la cardinalità del centralizzatore di $\sigma$ in $S_5$ corrisponde
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||||
(per la formula Orbita-Stabilizzatore) a $|S_5|/|{\text{classe di coniugio di }\sigma}|$. Inoltre la
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||||
classe di coniugio di $\sigma$ è fatta da tutti e soli i $4$-cicli in $S_5$ che per il conto
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||||
precedente sono $30$. La risposta è allora $120/30=4$. Possiamo notare anche che
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||||
$1, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ ci appartengono e sono pertanto tutti e soli gli elementi del
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||||
centralizzatore.
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||||
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**Soluzione (3).** Dato che $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ è generato da due qualsiasi dei suoi
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||||
elementi di grado $2$ (distinti), ci basta contare le coppie (ordinate) di elementi di grado $2$ che
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||||
commutano in $S_5$ e poi dividere per $6$ (il numero di modi di scegliere una coppia ordinata di
|
||||
generatori in $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$).
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||||
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Per fare il conto procediamo cosi: notiamo che gli elementi di ordine $2$ sono $2-$cicli e
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||||
$2+2-$cicli. Il centralizzatore di un $2$-ciclo contiene $6$ elementi di ordine $2$ distinti dal
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||||
$2-$ciclo di partenza (basta fare il conto con $(12)$) mentre un $2+2-$ciclo ne contiene altri $4$
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||||
(basta fare il conto con $(12)(34)$). Pertanto il numero di coppie ordinate di elementi di ordine
|
||||
$2$ che commutano in $S_5$ è
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$\text{numero di 2-cicli}\cdot 6 + \text{numero di 2+2-cicli}\cdot 4=120$. Dividendo per $6$
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||||
otteniamo $\boxed{20}$ che è la risposta corretta.
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||||
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||||
**Soluzione (4).** Cominciamo osservando che, per la formula orbita-stabilizzatore, il
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||||
normalizzatore di un $4$-ciclo (e dunque dello $\mathbb{Z}_4$ che genera) ha cardinalità
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||||
$5!/\{\text{suoi coniugati}\}$ ed i suoi coniugati sono tutti e soli gli elementi contati al punto
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||||
$(1)$. Il normalizzatore ha cardinalità $8$. Esibiamo due modi per capire chi è. Senza perdita di
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||||
generalità supponiamo che il gruppo sia $\langle (1234) \rangle$. Possiamo imporre
|
||||
$g(1234)g^{-1}=(1234)^i$ per $i=0, 1, 2, 3$ e determinare a mano tutti gli $8$ elementi (in questa
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maniera abbiamo mostrato un altro modo per capirne la cardinalità): otteniamo una copia di $D_4$ sui
|
||||
vertici $\{1, 2, 3, 4\}$.
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||||
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||||
Alternativamente potevamo osservare che il $D_4\subset S_5$ sui vertici $\{1, 2, 3, 4\}$ di sicuro
|
||||
normalizza $\langle (1234) \rangle$ in quanto esso genera un sottogruppo di indice $2$ dentro $D_4$.
|
||||
D'altronde, per il conto iniziale il normalizzatore ha cardinalità proprio $8$ e dunque non contiene
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||||
nient'altro oltre a $D_4$. Con questo ragionamento abbiamo appena esibito $\boxed{15}$
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normalizzatori isomorfi a $D_4$, uno per ogni <!-- footnote --> (Tutte queste copie sono distinte
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dato che dentro un $D_4$ esiste un solo gruppo di ordine $4$) gruppo ciclico dentro $Y$.
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Dobbiamo contare i normalizzatori dei rimanenti sottogruppi dentro $Y$, ossia le varie copie di
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$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$.
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Dal punto $(3)$ abbiamo scoperto che esistono due copie non coniugate di
|
||||
$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ dentro $S_5$: i generati da due cicli disgiunti
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$\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ che sono $15$ (tutti coniugati tra loro) e i generati da
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due $2+2$-cicli $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ che sono $5$ (tutti coniugati tra
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loro). Per gli stessi conti di prima (entrambe le strade funzionano) abbiamo che il normalizzatore
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di $\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ ha cardinalità $8$ ed è dunque un $D_4$, mentre il
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normalizzatore di $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ ha cardinalità $24$. Sarà
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pertanto la copia di $S_4\subset S_5$ dato che ha la giusta cardinalità (è un fatto noto che $S_4$
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normalizzi il _gruppo di Klein_). Di queste copie ne abbiamo $\boxed{5}$ distinte.
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Abbiamo concluso.
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title: Esempio # e.g. "Analisi 1"
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tutors:
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- name: Nome Cognome 1
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Durante le ore di tutorato proveremo innanzitutto a rispondere alle domande ed ai dubbi che possono essere sorti in classe.
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Siete caldamente invitati a dare un'occhio alla [raccolta di esercizi](https://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_Page/ArchivioDidattico.html) del professor Gobbino, che contiene sfide per tutti i gusti e livelli di difficoltà (sia di teoria che di calculus).
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Infine, ricordo a tutt\* che, nel caso in cui sorgesse un qualche piccolo dubbio improssivo ed impellente, gli studenti più grandi (me compreso) sono sempre felici di dare una mano, é una realtà di cui andiamo abbastanza fieri, quindi non abbiate paura di chiedere!
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## Esercizi da consegnare
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Per quanto riguarda le lezioni di recupero, ho preparato qualche esercizio tipo che potete svolgere e consegnare. Mi raccomando la forma, sia dal punto di vista matematico che da quello grafico!
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-[Prima consegna](/materiale/EserciziTutorato.pdf)
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E delle cose con del latex:
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**Tutorato 1:**
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- dal libro, es. 10, 12, 16, 17, 19;
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- mostrate che $\mathbb{Z}/d$, per $d$ dispari, non è isomorfo al gruppo di automorfismi $\text{Aut}(G)$ di alcun gruppo finito $G$;
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- sia $G$ un gruppo che agisce _transitivamente_ su un insieme $X$ (i.e., c'è una sola orbita), e sia $N$ un sottogruppo normale di $G$. Dimostrate che
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- se $x,y\in X$, $\text{stab}_G(x)$ e $\text{stab}_G(y)$ sono coniugati;
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- l'azione di $N$ su $X$ non è necessariamente transitiva;
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- le orbite dell'azione di $N$ su $X$ hanno tutte la stessa cardinalità.
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## Pdf dei Tutorati svolti
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In questa sezione ho intenzione di caricare i pdf dei tutorati svolti. Non scriverò ogni singolo esercizio, mi limiterò a quelli che ritengo più importanti e/o istruttivi. Non abbiate paura di farmi notare eventuali errori e/o imprecisioni! Riguardo allo stile, soprattutto all'inizio tenterò di essere il più chiaro possibile, quindi non temete, durante un compito non vi verrà mai richiesto di dare così tanti dettagli.
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- Tutorato del [13 ottobre 2023](/materiale/TutoratoAnalisi13102023.pdf).
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- Tutorato del [20 ottobre 2023](/materiale/TutoratoAnalisi2010.pdf).
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- Tutorato del [1 dicembre 2023](/materiale/LezioneNumeriComplessi.pdf).
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||||
- Tutorato del [19 gennaio 2024](/materiale/Tutorato1901.pdf).
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layout: ../../../layouts/MarkdownPage.astro
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title: Geometria 1
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tutors:
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||||
- name: Leonardo Migliorini
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contacts:
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- type: website
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||||
value: https://poisson.phc.dm.unipi.it/~lmigliorini/
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